Dérivation : formules et méthode

Comprendre ce que mesure la dérivée

La dérivation sert à mesurer une variation instantanée. Quand une fonction f décrit une grandeur en fonction de x, sa dérivée f' indique comment cette grandeur varie au voisinage de x. Si f'(a) est positif, la fonction monte près de a. Si f'(a) est négatif, elle descend. Si f'(a) vaut zéro, la courbe admet souvent un point particulier, comme un sommet local ou un creux local.

Graphiquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a. Cette idée relie deux objets essentiels : le calcul algébrique et la lecture graphique. La dérivée n’est donc pas seulement une formule. C’est une information sur la pente de la courbe.

On note souvent la tangente au point d’abscisse a par une équation de la forme :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Cette formule devient utile quand on connaît f(a) et f'(a). Elle donne l’équation de la droite qui touche la courbe au point d’abscisse a.

Les formules de dérivation à connaître

En Première, on doit reconnaître rapidement les dérivées des fonctions usuelles. Le but n’est pas de tout redémontrer à chaque exercice, mais de choisir la bonne formule et de l’appliquer sans erreur de signe ni de puissance.

Fonction f(x)	Dérivée f'(x)	Condition utile
k, constante	0	k réel
x	1
x2	2x
x3	3x2
xn	n xn - 1	n entier naturel non nul
1 / x	-1 / x2	x non nul
racine de x	1 / (2 racine de x)	x strictement positif pour la dérivée

Deux remarques évitent des erreurs fréquentes. La dérivée d’une constante est nulle, même si cette constante est compliquée. Par exemple, la dérivée de 7 est 0. Ensuite, la dérivée de x2 est 2x, et non x2. La dérivation change la puissance.

La formule (xn)' = n xn - 1 se lit ainsi : on multiplie par l’exposant, puis on baisse l’exposant d’une unité. Exemple : (x5)' = 5x4.

Somme, produit par un nombre et composition simple

Dériver une somme

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées. Si f et g sont dérivables, alors :

(f + g)' = f' + g'

Exemple : si f(x) = x3 + x2, alors f'(x) = 3x2 + 2x. On dérive chaque terme séparément.

Dériver un multiple

Un nombre placé devant une fonction reste devant la dérivée :

(k f)' = k f'

Exemple : si f(x) = 4x3, alors f'(x) = 4 fois 3x2 = 12x2.

Cette règle sert en permanence pour les polynômes. Dans 5x2 - 3x + 8, on dérive terme par terme :

• 5x2 donne 10x ;
• -3x donne -3 ;
• 8 donne 0.

Donc la dérivée est 10x - 3.

Dériver une forme u(ax + b) simple

On rencontre aussi des fonctions composées simples, par exemple (2x + 1)2. On peut développer, puis dériver. C’est souvent la méthode la plus sûre en Première quand le calcul reste court.

Exemple : f(x) = (2x + 1)2. On développe :

f(x) = 4x2 + 4x + 1

Puis on dérive :

f'(x) = 8x + 4

On peut aussi utiliser l’idée de chaîne : la dérivée de (u(x))2 est 2u(x)u'(x). Ici u(x) = 2x + 1 et u'(x) = 2. Donc f'(x) = 2(2x + 1) fois 2 = 4(2x + 1) = 8x + 4.

Exemple traité pas à pas

On considère la fonction définie par :

f(x) = 2x3 - 5x2 + 4x - 7

On veut calculer f'(x), puis f'(2), puis l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2.

Étape 1 : dériver chaque terme

• 2x3 donne 2 fois 3x2 = 6x2.
• -5x2 donne -5 fois 2x = -10x.
• 4x donne 4.
• -7 donne 0.

Donc :

f'(x) = 6x2 - 10x + 4

Étape 2 : calculer f'(2)

On remplace x par 2 dans l’expression de la dérivée :

f'(2) = 6 fois 22 - 10 fois 2 + 4

f'(2) = 6 fois 4 - 20 + 4

f'(2) = 24 - 20 + 4 = 8

La tangente au point d’abscisse 2 a donc pour coefficient directeur 8.

Étape 3 : calculer f(2)

On remplace x par 2 dans la fonction de départ :

f(2) = 2 fois 23 - 5 fois 22 + 4 fois 2 - 7

f(2) = 2 fois 8 - 5 fois 4 + 8 - 7

f(2) = 16 - 20 + 8 - 7 = -3

Le point de contact a donc pour coordonnées (2 ; -3).

Étape 4 : écrire l’équation de la tangente

On utilise la formule :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Ici, a = 2, f'(2) = 8 et f(2) = -3. Donc :

y = 8(x - 2) - 3

On simplifie :

y = 8x - 16 - 3

y = 8x - 19

L’équation de la tangente est donc y = 8x - 19.

Utiliser la dérivée pour étudier les variations

La dérivée permet aussi de déterminer les variations d’une fonction. Le principe est simple : on étudie le signe de f'(x).

• Si f'(x) est positif sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.
• Si f'(x) est négatif sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
• Si f'(x) s’annule et change de signe, la fonction peut admettre un extremum local.

Exemple : soit f(x) = x2 - 4x + 1. On dérive :

f'(x) = 2x - 4

On cherche le signe de 2x - 4. On résout :

2x - 4 = 0, donc 2x = 4, donc x = 2.

Si x est inférieur à 2, 2x - 4 est négatif. Si x est supérieur à 2, 2x - 4 est positif. La fonction est donc décroissante avant 2, puis croissante après 2. Elle atteint un minimum pour x = 2.

On peut calculer ce minimum :

f(2) = 22 - 4 fois 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3

Le minimum vaut -3.

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

Commencer par identifier la forme de la fonction. Polynôme, inverse, racine, somme ou expression composée simple : chaque forme appelle une formule précise. Ne pas dériver trop vite. Une erreur de signe ou d’exposant fausse toute la suite.

1. Repérer le domaine utile, surtout avec 1 / x ou la racine carrée.
2. Découper la fonction en termes simples.
3. Appliquer les formules de dérivation terme par terme.
4. Simplifier l’expression de f'(x) sans perdre d’information.
5. Si on demande une tangente, calculer séparément f(a) et f'(a).
6. Si on demande des variations, étudier le signe de f'(x), puis conclure sur la fonction f.

Pour une tangente, garder toujours le même réflexe : écrire y = f'(a)(x - a) + f(a), puis remplacer. Pour les variations, ne pas confondre la fonction et sa dérivée. Le signe de f'(x) indique le sens de variation de f, mais ce n’est pas le signe de f(x).

Dernier contrôle avant de rendre : vérifier que la dérivée d’une constante a bien disparu, que chaque puissance a baissé d’une unité, que les parenthèses ont été conservées quand elles sont nécessaires, et que la conclusion répond exactement à la question posée.

Hugo Arbonnier