Équations de droites

Lire une droite dans un repère

Une droite du plan peut se décrire par une équation. En seconde, on travaille surtout dans un repère, avec des points dont les coordonnées s’écrivent sous la forme (x ; y). Le nombre x donne la position horizontale, le nombre y donne la position verticale.

Une équation de droite sert à reconnaître tous les points qui appartiennent à cette droite. Dire qu’un point A(x ; y) est sur une droite, c’est dire que ses coordonnées vérifient l’équation de cette droite.

Exemple simple : la droite d’équation y = 2x + 1. Le point A(3 ; 7) appartient-il à cette droite ? On remplace x par 3 dans l’expression 2x + 1 :

2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7.

On obtient bien l’ordonnée du point, donc A(3 ; 7) est sur la droite.

Pour le point B(3 ; 8), le même calcul donne encore 7. Or l’ordonnée de B vaut 8. Donc B n’appartient pas à cette droite.

Cette idée est centrale : une équation n’est pas seulement une formule à apprendre. C’est un test d’appartenance.

Les formes principales d’une équation de droite

En seconde, on rencontre plusieurs écritures. Elles décrivent toutes des droites, mais elles ne donnent pas les mêmes informations au premier regard.

Forme	Écriture	Ce qu’on lit directement
Forme réduite	y = mx + p	Le coefficient directeur m et l’ordonnée à l’origine p
Droite horizontale	y = k	Tous les points ont la même ordonnée
Droite verticale	x = k	Tous les points ont la même abscisse
Équation cartésienne	ax + by + c = 0	Une forme générale, utile pour vérifier un point ou transformer l’écriture

La forme la plus importante à maîtriser est y = mx + p. Elle concerne les droites qui ne sont pas verticales.

Dans cette écriture, m s’appelle le coefficient directeur. Il indique l’inclinaison de la droite. Si m est positif, la droite monte quand on va vers la droite. Si m est négatif, elle descend. Si m = 0, la droite est horizontale.

Le nombre p s’appelle l’ordonnée à l’origine. C’est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées. En clair, quand x = 0, on obtient y = p.

Exemples de lecture directe

Pour la droite d d’équation y = 3x - 2, le coefficient directeur vaut 3 et l’ordonnée à l’origine vaut -2. La droite coupe donc l’axe des ordonnées au point (0 ; -2).

Pour la droite e d’équation y = -0,5x + 4, le coefficient directeur est négatif. La droite descend de gauche à droite. Elle coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 4).

Tracer une droite à partir de son équation

Pour tracer une droite, deux points suffisent. À partir d’une équation, on peut donc calculer les coordonnées de deux points, puis les placer dans le repère.

Prenons la droite d d’équation y = 2x - 3.

1. Choisir une première valeur de x. Par exemple x = 0.
2. Calculer y : y = 2 × 0 - 3 = -3. On obtient le point A(0 ; -3).
3. Choisir une deuxième valeur de x. Par exemple x = 2.
4. Calculer y : y = 2 × 2 - 3 = 4 - 3 = 1. On obtient le point B(2 ; 1).
5. Placer les points A et B, puis tracer la droite qui les relie.

On peut aussi utiliser le coefficient directeur. Dans y = 2x - 3, le nombre 2 signifie que, quand x augmente de 1, y augmente de 2. À partir de A(0 ; -3), on avance de 1 vers la droite et on monte de 2. On arrive au point (1 ; -1), qui est aussi sur la droite.

Attention aux droites verticales. Une équation comme x = 4 ne peut pas s’écrire sous la forme y = mx + p. Elle regroupe tous les points dont l’abscisse vaut 4 : (4 ; 0), (4 ; 2), (4 ; -5). Son tracé est une droite verticale.

Déterminer l’équation d’une droite

On cherche souvent l’équation d’une droite à partir de deux points. Si la droite n’est pas verticale, on vise une équation de la forme y = mx + p.

Soient A(xA ; yA) et B(xB ; yB), avec xA ≠ xB. Le coefficient directeur se calcule avec :

m = (yB - yA) ÷ (xB - xA)

Cette formule mesure la variation de y quand x varie. On peut la retenir ainsi : variation verticale divisée par variation horizontale.

Exemple traité pas à pas

On cherche l’équation de la droite passant par A(1 ; 2) et B(4 ; 8).

Première étape : calculer le coefficient directeur.

m = (8 - 2) ÷ (4 - 1) = 6 ÷ 3 = 2.

La droite a donc une équation de la forme :

y = 2x + p.

Deuxième étape : trouver l’ordonnée à l’origine.

On utilise un point de la droite, par exemple A(1 ; 2). Comme A appartient à la droite, ses coordonnées vérifient l’équation :

2 = 2 × 1 + p.

Donc :

2 = 2 + p, puis p = 0.

L’équation de la droite est donc :

y = 2x.

Vérification avec le deuxième point. Pour x = 4, on calcule y = 2 × 4 = 8. On retrouve bien l’ordonnée de B. L’équation est cohérente.

Cas d’une droite verticale

Si deux points ont la même abscisse, la droite est verticale. Par exemple, les points A(3 ; -1) et B(3 ; 5) ont tous les deux pour abscisse 3. L’équation de la droite est alors :

x = 3.

Dans ce cas, inutile de chercher m. La division par xB - xA serait impossible, car ce nombre vaut 0.

Reconnaître des droites parallèles et des points alignés

Les équations de droites permettent aussi de raisonner sans forcément tracer toute la figure.

Deux droites non verticales sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Par exemple, les droites d : y = 3x + 1 et e : y = 3x - 5 sont parallèles, car elles ont toutes les deux le coefficient directeur 3. Elles n’ont pas la même ordonnée à l’origine, donc elles sont distinctes.

Deux droites verticales sont aussi parallèles entre elles. Par exemple, x = -2 et x = 4 sont deux droites verticales distinctes.

Pour montrer que trois points sont alignés, on peut comparer des coefficients directeurs. Si A, B et C sont trois points avec des abscisses adaptées au calcul, on calcule le coefficient directeur de (AB), puis celui de (AC). S’ils sont égaux, les points sont alignés.

Exemple : A(0 ; 1), B(2 ; 5) et C(3 ; 7).

Coefficient directeur de (AB) :

(5 - 1) ÷ (2 - 0) = 4 ÷ 2 = 2.

Coefficient directeur de (AC) :

(7 - 1) ÷ (3 - 0) = 6 ÷ 3 = 2.

Les deux coefficients directeurs sont égaux. Les points A, B et C sont donc alignés.

On peut aussi trouver l’équation de la droite passant par deux points, puis tester si le troisième point vérifie cette équation. C’est souvent plus long, mais cela reste fiable.

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

Commence par identifier la tâche. On ne traite pas de la même manière un tracé, une vérification, une recherche d’équation ou une preuve d’alignement.

• Pour vérifier si un point appartient à une droite : remplace x et y par les coordonnées du point. Si l’égalité est vraie, le point appartient à la droite.
• Pour tracer une droite : calcule deux points, place-les avec soin, puis trace la droite. Si l’équation est x = k, trace une droite verticale.
• Pour lire une équation : dans y = mx + p, repère m et p. Le nombre p donne le point de départ sur l’axe des ordonnées.
• Pour trouver une équation avec deux points : calcule d’abord m, écris y = mx + p, puis utilise un des deux points pour trouver p.
• Pour une droite verticale : repère l’abscisse commune. L’équation est x = k.
• Pour prouver un parallélisme : compare les coefficients directeurs.
• Pour prouver un alignement : compare deux coefficients directeurs ou teste le troisième point dans l’équation de la droite.

Soigne les notations. Écris les coordonnées dans le bon ordre : abscisse puis ordonnée. Garde les parenthèses dans les calculs de coefficient directeur, surtout avec des nombres négatifs. Vérifie toujours une équation trouvée avec le point que tu n’as pas utilisé à la fin du calcul.

Hugo Arbonnier