Second degré : la méthode complète

Reconnaître une expression du second degré

Une expression du second degré est une expression de la forme ax² + bx + c, avec a différent de zéro. Les nombres a, b et c sont les coefficients. La variable est souvent notée x.

Le point essentiel est le terme en x². S’il disparaît, on n’a plus une expression du second degré. Par exemple, 3x² - 5x + 2 est du second degré. En revanche, -4x + 7 est du premier degré.

En Première, le second degré sert à résoudre des équations, étudier un signe, résoudre des inéquations et exploiter une parabole. Il faut donc savoir passer d’une forme à l’autre sans perdre le sens du calcul.

Les trois formes à connaître

Forme	Écriture	Utilité principale
Forme développée	ax2 + bx + c	Identifier les coefficients et calculer le discriminant.
Forme factorisée	a(x - x1)(x - x2)	Lire les racines et étudier le signe.
Forme canonique	a(x - α)2 + β	Lire le sommet de la parabole et le minimum ou maximum.

La forme développée est la plus courante au départ. La forme factorisée est la plus efficace pour résoudre une équation ou une inéquation. La forme canonique est utile quand on travaille avec le sommet ou avec les variations.

Calculer le discriminant et résoudre une équation

Pour résoudre une équation du type ax² + bx + c = 0, on calcule le discriminant. Il se note souvent Δ et vaut :

• Δ = b² - 4ac
• si Δ > 0, l’équation a deux solutions réelles distinctes ;
• si Δ = 0, l’équation a une solution réelle double ;
• si Δ < 0, l’équation n’a pas de solution réelle.

Quand Δ > 0, les deux solutions sont :

• x₁ = (-b - √Δ) / 2a
• x₂ = (-b + √Δ) / 2a

Quand Δ = 0, la solution double est :

• x = -b / 2a

Exemple traité étape par étape

Résoudre l’équation 2x² - 5x + 2 = 0.

1. Identifier les coefficients : a = 2, b = -5, c = 2.
2. Calculer le discriminant : Δ = b² - 4ac.
3. Remplacer : Δ = (-5)² - 4 × 2 × 2.
4. Calculer : Δ = 25 - 16 = 9.
5. Comme Δ > 0, il y a deux solutions réelles.
6. Calculer la première solution : x₁ = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 1 / 2.
7. Calculer la seconde solution : x₂ = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2.

Les solutions sont donc 1 / 2 et 2. On peut écrire l’ensemble des solutions sous la forme S = {1 / 2 ; 2}.

Il faut surveiller les signes. Ici, b = -5, donc -b = 5. Une erreur sur ce point change toute la réponse.

Factoriser et étudier le signe

Quand on connaît les racines d’un trinôme, on peut factoriser. Si les racines sont x₁ et x₂, alors :

• ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

Avec l’exemple précédent, on avait 2x² - 5x + 2, les racines 1 / 2 et 2, et a = 2. Donc :

2x² - 5x + 2 = 2(x - 1 / 2)(x - 2).

On peut aussi écrire 2x² - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2), ce qui donne la même expression après développement.

Règle de signe d’un trinôme

Quand Δ > 0, le trinôme change de signe aux deux racines. Il est du signe de a à l’extérieur des racines, et du signe opposé à a entre les racines.

Situation	Signe du trinôme
Avant la plus petite racine	Signe de a
Entre les deux racines	Signe opposé à a
Après la plus grande racine	Signe de a

Dans l’exemple 2x² - 5x + 2, le coefficient a est positif. Les racines sont 1 / 2 et 2. Le trinôme est donc positif avant 1 / 2, négatif entre 1 / 2 et 2, puis positif après 2.

Pour résoudre 2x² - 5x + 2 ≤ 0, on prend la zone où le trinôme est négatif ou nul. La solution est donc : [1 / 2 ; 2].

Si l’inégalité avait été stricte, par exemple 2x² - 5x + 2 < 0, on aurait exclu les racines. La solution aurait été : ]1 / 2 ; 2[.

Utiliser la forme canonique et la parabole

La courbe représentative d’une fonction du second degré est une parabole. Pour une fonction f(x) = ax² + bx + c, son orientation dépend du signe de a.

• Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut. La fonction admet un minimum.
• Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas. La fonction admet un maximum.

Le sommet de la parabole a pour abscisse :

• α = -b / 2a

Son ordonnée est β = f(α). La forme canonique s’écrit alors :

• f(x) = a(x - α)² + β

Exemple avec un sommet

Soit f(x) = x² - 4x + 1. On cherche son sommet.

1. Identifier les coefficients : a = 1, b = -4, c = 1.
2. Calculer α : α = -b / 2a = 4 / 2 = 2.
3. Calculer β : f(2) = 2² - 4 × 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3.
4. Le sommet est donc S(2 ; -3).

La forme canonique est f(x) = (x - 2)² - 3. On le vérifie en développant : (x - 2)² - 3 = x² - 4x + 4 - 3 = x² - 4x + 1.

Comme a = 1 est positif, la fonction admet un minimum. Ce minimum vaut -3, atteint pour x = 2.

Résoudre une inéquation sans se tromper

Une inéquation du second degré se traite presque toujours avec un tableau de signe, même si on ne le dessine pas entièrement. La méthode reste la même.

1. Tout mettre dans un seul membre pour obtenir ax² + bx + c comparé à zéro.
2. Calculer le discriminant.
3. Trouver les racines quand elles existent.
4. Étudier le signe du trinôme.
5. Choisir les intervalles qui répondent à l’inégalité.

Exemple : résoudre -x² + 3x + 4 > 0.

1. On identifie a = -1, b = 3, c = 4.
2. Δ = 3² - 4 × (-1) × 4 = 9 + 16 = 25.
3. Il y a deux racines.
4. x₁ = (-3 - 5) / (-2) = -8 / -2 = 4.
5. x₂ = (-3 + 5) / (-2) = 2 / -2 = -1.
6. On range les racines : -1 puis 4.
7. Comme a < 0, le trinôme est négatif à l’extérieur des racines et positif entre les racines.

L’inégalité demande > 0. On garde donc l’intervalle où le trinôme est positif : ]-1 ; 4[.

Attention à l’ordre des racines. Les formules peuvent donner d’abord la plus grande racine, surtout si a est négatif. Avant d’écrire le signe, il faut toujours ranger les racines dans l’ordre croissant.

La méthode à appliquer le jour de l’évaluation

Commencer par identifier la tâche. Une équation, une inéquation, une étude de signe ou une lecture graphique ne demandent pas la même rédaction.

• Pour une équation : écrire a, b, c, calculer Δ, annoncer le nombre de solutions, puis calculer les solutions.
• Pour une factorisation : chercher les racines, puis écrire a(x - x₁)(x - x₂).
• Pour une inéquation : tout ramener à zéro, calculer les racines, faire le signe, puis conclure avec des intervalles.
• Pour un sommet : calculer α = -b / 2a, puis β = f(α).
• Pour une parabole : regarder le signe de a avant de parler de minimum ou de maximum.

Soigner la rédaction. Une réponse juste sans justification peut perdre de sa valeur. Écrire les étapes dans l’ordre limite aussi les erreurs de signe.

Vérifier trois points avant de rendre :

1. Le coefficient a n’est pas nul.
2. Le discriminant a été calculé avec les bons signes.
3. Les racines sont rangées dans l’ordre croissant avant l’étude de signe.

Si un calcul devient lourd, revenir à la structure : coefficients, discriminant, racines, signe, conclusion. Le second degré récompense la méthode plus que l’intuition.

Hugo Arbonnier