Fonction inverse et fonctions homographiques

Comprendre la fonction inverse

La fonction inverse est la fonction qui associe à tout nombre non nul son inverse. On la note souvent f(x) = 1/x. Elle n’est pas définie en zéro, car on ne peut pas diviser par zéro.

Son ensemble de définition est donc R*, c’est-à-dire l’ensemble des réels privés de zéro. On peut aussi l’écrire ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.

Quelques valeurs permettent de voir son comportement :

x	-4	-2	-1	-1/2	1/2	1	2	4
1/x	-1/4	-1/2	-1	-2	2	1	1/2	1/4

La courbe représentative de la fonction inverse s’appelle une hyperbole. Elle possède deux branches. L’une est dans le premier quadrant, quand x > 0 et 1/x > 0. L’autre est dans le troisième quadrant, quand x < 0 et 1/x < 0.

Deux axes jouent un rôle important. L’axe des ordonnées, d’équation x = 0, est une asymptote verticale. La courbe s’en rapproche sans jamais le toucher. L’axe des abscisses, d’équation y = 0, est une asymptote horizontale. Quand x devient très grand en valeur absolue, 1/x se rapproche de zéro.

Variations et comparaisons

La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles de son ensemble de définition :

• sur ]-∞ ; 0[, quand x augmente, 1/x diminue ;
• sur ]0 ; +∞[, quand x augmente, 1/x diminue.

Attention à une erreur fréquente : on ne dit pas que la fonction inverse est décroissante sur R*. Son ensemble de définition est séparé en deux intervalles. On doit raisonner séparément sur les nombres négatifs et sur les nombres positifs.

Pour comparer deux inverses, on vérifie d’abord le signe des nombres.

Cas des nombres positifs

Si 0 < a < b, alors 1/a > 1/b. Sur les positifs, prendre l’inverse renverse l’ordre.

Exemple : 2 < 5, donc 1/2 > 1/5.

Cas des nombres négatifs

Si a < b < 0, alors 1/a > 1/b. Sur les négatifs aussi, la fonction inverse est décroissante.

Exemple : -5 < -2, donc 1/(-5) > 1/(-2), c’est-à-dire -1/5 > -1/2.

Cas de signes différents

Si l’un des nombres est négatif et l’autre positif, leurs inverses ont les mêmes signes que les nombres de départ. Un inverse négatif est toujours inférieur à un inverse positif.

Exemple : -3 < 4, et 1/(-3) < 1/4.

Résoudre des équations et inéquations avec l’inverse

Avec la fonction inverse, la première étape consiste toujours à repérer les valeurs interdites. Une équation peut paraître simple, mais elle n’a de sens que si tous les dénominateurs sont non nuls.

Exemple traité pas à pas : résoudre 1/(x - 2) = 3

1. Repérer la valeur interdite : le dénominateur x - 2 ne doit pas valoir zéro. Donc x ≠ 2.
2. Transformer l’équation : 1/(x - 2) = 3 signifie 1 = 3(x - 2).
3. Développer : 1 = 3x - 6.
4. Isoler x : 7 = 3x, donc x = 7/3.
5. Vérifier la valeur interdite : 7/3 ≠ 2. La solution est acceptée.

La solution est 7/3.

Exemple traité pas à pas : résoudre 1/x > 2

On ne multiplie pas directement par x sans connaître son signe. Il faut distinguer les cas.

1. Valeur interdite : x ≠ 0.
2. Cas x > 0 : on peut multiplier par x sans changer le sens de l’inégalité. On obtient 1 > 2x, donc x < 1/2. Avec x > 0, cela donne 0 < x < 1/2.
3. Cas x < 0 : en multipliant par x, le sens change. On obtient 1 < 2x. Or si x < 0, alors 2x < 0. Impossible d’avoir 1 < 2x.

La solution est donc ]0 ; 1/2[.

Une autre méthode consiste à tout mettre du même côté : 1/x - 2 > 0, puis (1 - 2x)/x > 0. On étudie ensuite le signe du quotient dans un tableau de signes.

Reconnaître une fonction homographique

Une fonction homographique est une fonction qui peut s’écrire sous la forme f(x) = (ax + b)/(cx + d), avec un dénominateur qui dépend de x. La condition essentielle est cx + d ≠ 0. Quand c ≠ 0, il existe une valeur interdite : x = -d/c.

Exemples de fonctions homographiques :

• f(x) = (2x + 1)/(x - 3) ;
• g(x) = (-x + 4)/(2x + 5) ;
• h(x) = 3 + 2/(x - 1), que l’on peut écrire avec un seul quotient.

Ces fonctions ressemblent à la fonction inverse, mais elles sont déplacées, étirées ou retournées. Leur courbe est aussi une hyperbole, sauf dans le cas particulier où l’expression se simplifie en une fonction constante sur son domaine.

Pour étudier une fonction homographique, il faut souvent la mettre sous une forme plus lisible. La forme f(x) = A + B/(x - α) est très utile. Elle montre directement la valeur interdite et les asymptotes.

Exemple traité pas à pas : transformer f(x) = (2x + 5)/(x - 1)

1. On cherche à faire apparaître le dénominateur x - 1 dans le numérateur.
2. On écrit 2x + 5 = 2(x - 1) + 7, car 2(x - 1) + 7 = 2x - 2 + 7 = 2x + 5.
3. Donc f(x) = [2(x - 1) + 7]/(x - 1).
4. On sépare le quotient : f(x) = 2 + 7/(x - 1).

Cette écriture donne immédiatement plusieurs informations. La valeur interdite est x = 1. La courbe a une asymptote verticale x = 1. Elle a aussi une asymptote horizontale y = 2.

Pour calculer une image, on remplace x par la valeur donnée, sans oublier la valeur interdite. Par exemple, pour x = 3 :

f(3) = (2 × 3 + 5)/(3 - 1) = 11/2.

Avec la forme transformée, on retrouve le même résultat : f(3) = 2 + 7/(3 - 1) = 2 + 7/2 = 11/2.

Étudier le signe d’une fonction homographique

Le signe d’un quotient dépend du signe de son numérateur et de son dénominateur. Pour étudier le signe de f(x) = (ax + b)/(cx + d), on cherche les valeurs qui annulent le numérateur et le dénominateur.

La valeur qui annule le dénominateur est interdite. Elle ne peut jamais être une solution. La valeur qui annule le numérateur donne, si elle est autorisée, une image égale à zéro.

Exemple : signe de f(x) = (x - 4)/(x + 2)

1. Numérateur : x - 4 = 0, donc x = 4.
2. Dénominateur : x + 2 = 0, donc x = -2. Cette valeur est interdite.
3. On découpe la droite réelle avec -2 et 4.

Intervalle	Signe de x - 4	Signe de x + 2	Signe de f(x)
]-∞ ; -2[	-	-	+
]-2 ; 4[	-	+	-
]4 ; +∞[	+	+	+

On en déduit que f(x) > 0 sur ]-∞ ; -2[ et sur ]4 ; +∞[. On a f(x) = 0 pour x = 4. La fonction est négative sur ]-2 ; 4[. La valeur -2 reste interdite.

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

Commence par écrire l’ensemble de définition. Pour une expression avec un dénominateur, cherche immédiatement les valeurs interdites. Cette étape évite beaucoup d’erreurs.

Si l’exercice porte sur la fonction inverse, utilise les repères suivants :

• 1/x existe seulement si x ≠ 0 ;
• la fonction inverse est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ ;
• prendre l’inverse renverse l’ordre quand les deux nombres sont dans le même intervalle de signe ;
• on ne multiplie pas une inégalité par x sans connaître son signe.

Si l’exercice porte sur une fonction homographique, applique cet ordre :

1. Identifie le numérateur et le dénominateur.
2. Résous dénominateur = 0 pour trouver les valeurs interdites.
3. Pour un signe, résous aussi numérateur = 0.
4. Construis un tableau de signes si l’expression est un quotient.
5. Pour une courbe, essaie d’écrire la fonction sous la forme A + B/(x - α).
6. Vérifie toujours que les solutions trouvées appartiennent au domaine.

Garde une règle simple : une valeur interdite ne revient jamais dans la réponse, même si un calcul semble la donner. Un quotient se traite avec méthode : domaine, transformations, signe, conclusion.

Hugo Arbonnier