Vecteurs et coordonnées

Comprendre ce qu’est un vecteur

Un vecteur sert à décrire un déplacement. Il indique trois informations : une direction, un sens et une longueur. En seconde, on l’utilise surtout dans un repère, avec des coordonnées, pour calculer sans se fier seulement à une figure.

Le vecteur AB représente le déplacement qui part du point A et arrive au point B. Il ne décrit pas seulement le segment [AB]. Il décrit le mouvement de A vers B.

• La direction correspond à la droite portée par le déplacement.
• Le sens indique de quel côté on se déplace sur cette direction.
• La norme correspond à la longueur du déplacement.

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Ils peuvent être placés à des endroits différents de la figure. Par exemple, si deux flèches sont parallèles, orientées dans le même sens et de même longueur, elles représentent le même vecteur.

Il faut bien distinguer un point et un vecteur. Un point indique une position. Un vecteur indique un déplacement. Le point A peut avoir des coordonnées comme A(2;3). Le vecteur u peut avoir des coordonnées comme u(4;-1), ce qui signifie : avancer de quatre unités horizontalement et descendre d’une unité verticalement.

Lire et calculer des coordonnées de vecteurs

Dans un repère, les coordonnées d’un vecteur indiquent le déplacement horizontal et le déplacement vertical. Pour aller d’un point A à un point B, on compare les coordonnées de B à celles de A.

Si A(xA;yA) et B(xB;yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées :

• AB(xB - xA ; yB - yA)

La première coordonnée mesure le déplacement horizontal. Une valeur positive signifie qu’on va vers la droite. Une valeur négative signifie qu’on va vers la gauche. La deuxième coordonnée mesure le déplacement vertical. Une valeur positive signifie qu’on monte. Une valeur négative signifie qu’on descend.

Situation	Formule ou lecture	Interprétation
Vecteur AB	(xB - xA ; yB - yA)	Déplacement de A vers B
Vecteurs égaux	Mêmes coordonnées	Même déplacement
Vecteur nul	(0;0)	Aucun déplacement
Vecteur opposé	Coordonnées opposées	Même direction, sens contraire

Exemple pas à pas

On donne A(-2;3) et B(4;-1). On veut calculer les coordonnées du vecteur AB.

1. On repère les coordonnées de départ : A(-2;3).
2. On repère les coordonnées d’arrivée : B(4;-1).
3. On applique la formule : AB(xB - xA ; yB - yA).
4. On remplace : AB(4 - (-2) ; -1 - 3).
5. On calcule : 4 - (-2) = 6 et -1 - 3 = -4.

Donc AB(6;-4). Cela signifie que, pour aller de A à B, on avance de six unités vers la droite et on descend de quatre unités.

Attention au signe moins devant une coordonnée négative. Dans 4 - (-2), on ne trouve pas 2, mais 6. Cette erreur est très fréquente.

Effectuer des calculs avec les vecteurs

Les coordonnées permettent d’additionner des vecteurs, de les soustraire et de les multiplier par un nombre. On travaille coordonnée par coordonnée.

Si u(a;b) et v(c;d), alors :

• u + v(a + c ; b + d)
• u - v(a - c ; b - d)
• k u(k × a ; k × b), où k est un nombre
• -u(-a ; -b)

Ces règles traduisent des déplacements. Additionner deux vecteurs revient à enchaîner deux déplacements. Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé.

Exemple de calcul

On donne u(3;-2) et v(-5;4). On calcule u + v, puis 2u - v.

1. Pour la somme : u + v(3 + (-5) ; -2 + 4).
2. On calcule : 3 + (-5) = -2 et -2 + 4 = 2.
3. Donc u + v(-2;2).
4. Pour 2u : 2u(2 × 3 ; 2 × (-2)), donc 2u(6;-4).
5. Pour 2u - v : (6;-4) - (-5;4).
6. On calcule : 6 - (-5) = 11 et -4 - 4 = -8.

Donc 2u - v(11;-8).

On peut aussi chercher les coordonnées d’un point à partir d’un vecteur. Si A(1;-3) et AB(4;5), alors pour trouver B, on ajoute le déplacement aux coordonnées de A. On obtient xB = 1 + 4 = 5 et yB = -3 + 5 = 2. Donc B(5;2).

Utiliser les vecteurs pour prouver

Les vecteurs ne servent pas seulement à calculer. Ils permettent aussi de démontrer des propriétés géométriques. En seconde, deux idées reviennent souvent : prouver que deux segments ont même milieu, et prouver que des points sont alignés.

Prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si les vecteurs AB et DC sont égaux. Il est aussi possible d’utiliser AD et BC. Avec les coordonnées, il suffit donc de comparer deux vecteurs.

Exemple : A(1;2), B(5;3), D(-1;-1) et C(3;0). Calculons AB et DC.

1. AB(5 - 1 ; 3 - 2), donc AB(4;1).
2. DC(3 - (-1) ; 0 - (-1)), donc DC(4;1).
3. Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées.

Donc AB = DC. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Prouver que des points sont alignés

Des points A, B et C sont alignés si les vecteurs AB et AC ont la même direction. On dit alors que les deux vecteurs sont colinéaires.

Deux vecteurs u(a;b) et v(c;d) sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre. Concrètement, on cherche un nombre qui permet de passer des coordonnées de l’un aux coordonnées de l’autre.

Exemple : u(2;-3) et v(-4;6). On remarque que -4 = -2 × 2 et 6 = -2 × (-3). Donc v = -2u. Les vecteurs u et v sont colinéaires.

Pour trois points, on calcule deux vecteurs issus du même point. Par exemple, avec A(0;1), B(2;5) et C(3;7) :

1. AB(2 - 0 ; 5 - 1), donc AB(2;4).
2. AC(3 - 0 ; 7 - 1), donc AC(3;6).
3. On a AC = 1,5 AB, car 3 = 1,5 × 2 et 6 = 1,5 × 4.

Les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Les points A, B et C sont donc alignés.

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

Avant de calculer, identifier ce que l’exercice demande vraiment. Un énoncé sur les vecteurs peut demander un calcul de coordonnées, une égalité de vecteurs, une construction, un parallélogramme ou un alignement. La méthode change selon le but.

1. Recopier les données utiles. Noter clairement les coordonnées des points ou des vecteurs. Garder l’ordre des points : AB n’est pas BA.
2. Choisir la formule. Pour un vecteur défini par deux points, utiliser AB(xB - xA ; yB - yA). Pour une somme ou un produit, travailler coordonnée par coordonnée.
3. Soigner les signes. Mettre des parenthèses quand une coordonnée est négative. Calculer lentement les soustractions comme -1 - (-4).
4. Comparer les résultats. Pour montrer que deux vecteurs sont égaux, vérifier que les deux coordonnées sont identiques. Pour montrer la colinéarité, chercher un même multiplicateur pour les deux coordonnées.
5. Conclure avec une phrase. Un calcul seul ne suffit pas. Écrire la propriété obtenue : les vecteurs sont égaux, les points sont alignés, ou le quadrilatère est un parallélogramme.

Sur une figure, ne pas se contenter de ce qui semble vrai. Une droite peut paraître horizontale sans l’être. Deux longueurs peuvent paraître égales sans l’être. Les coordonnées donnent une preuve.

Dernier réflexe : vérifier l’ordre des lettres. Le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB. Si AB(6;-4), alors BA(-6;4). Une inversion de lettres change le sens du déplacement et peut rendre toute la réponse fausse.

Hugo Arbonnier