La fonction exponentielle

Définition et premières propriétés

La fonction exponentielle est une fonction centrale en Terminale. On la note exp, ou e^x. Elle est définie sur l’ensemble des nombres réels.

On peut la caractériser ainsi : la fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R qui vérifie :

• exp’(x) = exp(x) pour tout réel x,
• exp(0) = 1.

Autrement dit, la fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée. C’est sa propriété la plus importante. Elle explique son rôle dans les modèles de croissance, de décroissance, d’évolution proportionnelle et dans de nombreuses équations différentielles.

On écrit souvent e^x à la place de exp(x). Le nombre e désigne exp(1). C’est une constante mathématique. On n’a pas besoin de connaître sa valeur décimale pour raisonner correctement. Il suffit de connaître les règles de calcul.

Quelques valeurs exactes sont à retenir :

Expression	Valeur ou écriture équivalente
e0	1
e1	e
e-x	1 sur ex
ea+b	eaeb
ea-b	ea sur eb
(ea)n	ean

Attention : e^a+b n’est pas égal à e^a + e^b. L’exponentielle transforme une somme dans l’exposant en produit, pas en somme.

Variations, signe et représentation graphique

La fonction exponentielle est strictement positive sur R. Pour tout réel x, on a :

e^x > 0

Elle ne s’annule jamais. Son graphe ne coupe donc jamais l’axe des abscisses.

Comme sa dérivée est elle-même, on a :

(e^x)’ = e^x

Or e^x > 0 pour tout x. La dérivée est donc toujours positive. On en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Son tableau de variations se résume ainsi :

x	Variation de ex
Quand x devient très négatif	ex se rapproche de 0
x = 0	e0 = 1
Quand x devient très positif	ex devient très grand

La courbe passe par le point de coordonnées (0 ; 1). Elle monte de plus en plus vite quand x augmente. À gauche, elle se rapproche de l’axe des abscisses sans jamais le toucher.

Ces informations suffisent souvent pour résoudre des inéquations. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, elle conserve l’ordre :

• si a < b, alors e^a < e^b,
• si e^a < e^b, alors a < b.

Par exemple, résoudre e^2x-1 < e⁵ revient à résoudre 2x - 1 < 5. On obtient 2x < 6, donc x < 3.

Calculs avec l’exponentielle

Utiliser les règles de calcul

Les règles de calcul avec l’exponentielle permettent de simplifier des expressions. Elles servent aussi à factoriser, dériver ou résoudre des équations.

Exemple : simplifier

A = e^2x × e³ sur e^x-1

On regroupe les exposants :

e^2x × e³ = e^2x+3

Donc :

A = e^2x+3 sur e^x-1

Une division de puissances de même base revient à soustraire les exposants :

A = e^(2x+3)-(x-1)

On calcule l’exposant :

(2x + 3) - (x - 1) = 2x + 3 - x + 1 = x + 4

Donc :

A = e^x+4

La difficulté ne vient pas de l’exponentielle, mais souvent des parenthèses. On les garde jusqu’à la dernière ligne.

Factoriser avec l’exponentielle

On peut factoriser une expression contenant des exponentielles. Il faut repérer le facteur commun.

Exemple :

B = 3e^x + 5xe^x

Le facteur commun est e^x. On obtient :

B = e^x(3 + 5x)

Cette factorisation est utile pour étudier le signe. Comme e^x est toujours positif, le signe de B est le signe de 3 + 5x.

On peut aussi rencontrer :

C = e^2x - 4e^x

On remarque que e^2x = e^xe^x. Donc :

C = e^xe^x - 4e^x

On factorise par e^x :

C = e^x(e^x - 4)

Dériver des fonctions avec exponentielle

La dérivée de e^x est e^x. Pour une fonction composée, on utilise la règle suivante :

Si u est une fonction dérivable, alors :

(e^u(x))’ = u’(x)e^u(x)

On dérive d’abord l’exposant, puis on multiplie par l’exponentielle inchangée.

Exemple traité pas à pas

On étudie la fonction définie par :

f(x) = (2x - 3)e^x

On veut calculer sa dérivée, puis étudier ses variations.

La fonction est un produit. On pose :

• u(x) = 2x - 3, donc u’(x) = 2,
• v(x) = e^x, donc v’(x) = e^x.

La dérivée d’un produit est :

(uv)’ = u’v + uv’

Donc :

f’(x) = 2e^x + (2x - 3)e^x

On factorise par e^x :

f’(x) = e^x(2 + 2x - 3)

On simplifie :

f’(x) = e^x(2x - 1)

Pour étudier le signe de f’(x), on utilise le fait que e^x > 0. Le signe dépend donc uniquement de 2x - 1.

On résout :

2x - 1 = 0

2x = 1

x = 1 sur 2

Donc f’(x) est négative si x < 1 sur 2, nulle si x = 1 sur 2, positive si x > 1 sur 2.

La fonction f est donc décroissante jusqu’à 1 sur 2, puis croissante après 1 sur 2. Elle admet un minimum en x = 1 sur 2.

On peut calculer ce minimum :

f(1 sur 2) = (2 × 1 sur 2 - 3)e^{1 sur 2}

f(1 sur 2) = (1 - 3)e^{1 sur 2}

f(1 sur 2) = -2e^{1 sur 2}

Équations et inéquations avec l’exponentielle

La fonction exponentielle permet de résoudre plusieurs types d’équations. Il faut d’abord reconnaître la forme.

Équations du type e^A = e^B

Comme l’exponentielle est strictement croissante, elle est injective. Cela signifie que deux exponentielles sont égales seulement si leurs exposants sont égaux.

On a donc :

e^A = e^B équivaut à A = B

Exemple :

e^3x+2 = e⁸

On égalise les exposants :

3x + 2 = 8

3x = 6

x = 2

Équations où l’on pose une inconnue auxiliaire

Quand on voit e^2x et e^x dans la même équation, on peut poser X = e^x. Alors e^2x = (e^x)² = X².

Exemple :

e^2x - 5e^x + 6 = 0

On pose X = e^x. Comme une exponentielle est toujours positive, X > 0.

L’équation devient :

X² - 5X + 6 = 0

On factorise :

X² - 5X + 6 = (X - 2)(X - 3)

Donc :

(X - 2)(X - 3) = 0

Ainsi :

X = 2 ou X = 3

On revient à x :

e^x = 2 ou e^x = 3

Sans logarithme, on laisse les solutions sous cette forme si l’énoncé ne demande pas une autre écriture. Si le logarithme népérien est disponible, on écrit x = ln(2) ou x = ln(3).

Inéquations

Pour résoudre une inéquation, on utilise surtout deux faits :

• e^x est toujours strictement positif,
• e^x est strictement croissant.

Exemple :

e^x(x - 4) > 0

Comme e^x > 0, le signe du produit dépend seulement de x - 4. On résout :

x - 4 > 0

x > 4

La solution est donc l’ensemble des réels strictement supérieurs à 4.

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

Commence par identifier le rôle de l’exponentielle dans l’exercice. S’agit-il d’un calcul, d’une dérivée, d’un signe, d’une équation ou d’une étude de fonction ? Cette question évite de partir dans une mauvaise direction.

1. Réécris les expressions. Transforme e^a+b, e^a-b ou e^2x si cela simplifie le calcul.
2. Utilise toujours e^x > 0. C’est le réflexe principal pour les signes et les variations.
3. Pour dériver e^u(x), écris u’(x)e^u(x). Ne dérive pas seulement l’exposant.
4. Pour une étude de variations, factorise la dérivée. Si un facteur e^x apparaît, il ne change pas le signe.
5. Pour une équation, cherche d’abord si elle a la forme e^A = e^B. Sinon, pense au changement d’inconnue X = e^x.
6. Garde les parenthèses dans les exposants. Beaucoup d’erreurs viennent d’une soustraction mal distribuée.

À la fin, vérifie la cohérence du résultat. Une exponentielle ne vaut jamais zéro et n’est jamais négative. Toute solution qui impose e^x = 0 ou e^x < 0 doit être rejetée.

Hugo Arbonnier