Géométrie dans l’espace en terminale

Vecteurs de l’espace, colinéarité et coplanarité

Dans l’espace, un repère est formé d’une origine O et de trois vecteurs non coplanaires. En terminale, on travaille presque toujours dans un repère orthonormé. Un vecteur u a alors trois coordonnées (x ; y ; z), et les opérations se font coordonnée par coordonnée. Si A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B) sont deux points, le vecteur AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A). Si le passage des points aux vecteurs vous semble flou, la fiche sur les vecteurs et coordonnées reprend les bases du plan, qui se transposent directement.

Colinéarité

Deux vecteurs u et v sont colinéaires si u = kv pour un réel k (ou si l’un est nul). Concrètement, on cherche un même coefficient k qui relie les trois coordonnées. Si un seul des trois rapports diffère, les vecteurs ne sont pas colinéaires. Trois points A, B, C sont alignés exactement lorsque AB et AC sont colinéaires.

Coplanarité

Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires si l’un d’eux s’écrit comme combinaison linéaire des deux autres, par exemple w = au + bv avec u et v non colinéaires. Pour le vérifier, on écrit le système à trois équations et deux inconnues a et b. S’il admet une solution, les vecteurs sont coplanaires. Sinon, ils forment une base de l’espace.

Droites : représentation paramétrique et positions relatives

Une droite est déterminée par un point A(x_A ; y_A ; z_A) et un vecteur directeur u(a ; b ; c) non nul. Un point M(x ; y ; z) appartient à la droite si et seulement si AM = tu pour un réel t. On obtient la représentation paramétrique :

x = x_A + at, y = y_A + bt, z = z_A + ct, avec t réel.

Chaque valeur de t donne un point de la droite. Cette écriture n’est pas unique : changer de point de départ ou de vecteur directeur (par un multiple non nul) décrit la même droite. Pour mémoire, la fiche sur les équations de droites traite le cas du plan, où l’on utilise une équation cartésienne. Dans l’espace, une droite n’a pas d’équation cartésienne unique : il faut deux équations, ou la représentation paramétrique.

Deux droites dans l’espace

Deux droites peuvent être parallèles, sécantes ou non coplanaires. Ce troisième cas n’existe pas dans le plan, et c’est un piège classique. La méthode est toujours la même :

1. Comparer les vecteurs directeurs. S’ils sont colinéaires, les droites sont parallèles : strictement parallèles ou confondues, selon qu’un point de l’une appartient ou non à l’autre.
2. Sinon, écrire l’égalité des trois coordonnées avec deux paramètres différents, t et s.
3. Résoudre avec deux équations, puis tester le résultat dans la troisième. Si elle est vérifiée, les droites sont sécantes en un point. Sinon, elles ne sont pas coplanaires.

Produit scalaire, orthogonalité et vecteur normal

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de u(x ; y ; z) et v(x’ ; y’ ; z’) vaut u · v = xx’ + yy’ + zz’. La norme de u est √(x² + y² + z²). Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Deux droites sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs le sont, qu’elles soient sécantes ou non : l’orthogonalité ne suppose pas un point commun.

Un vecteur n non nul est normal à un plan P s’il est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan. Il suffit de vérifier l’orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan. Une droite est orthogonale au plan P si son vecteur directeur est colinéaire à n.

Plans : équation cartésienne et intersections

Un plan est défini par un point A et un vecteur normal n(a ; b ; c). Le point M(x ; y ; z) est dans le plan si et seulement si AM · n = 0. En développant, on obtient l’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0, avec d = −(ax_A + by_A + cz_A). Réciproquement, les coefficients a, b, c d’une telle équation donnent directement un vecteur normal.

Positions relatives d’une droite et d’un plan

Soit une droite de vecteur directeur u et un plan de vecteur normal n. Le produit scalaire u · n décide de la situation.

Pour deux plans, on compare leurs vecteurs normaux. S’ils sont colinéaires, les plans sont parallèles (ou confondus). Sinon, ils sont sécants selon une droite, que l’on décrit en résolvant le système des deux équations.

Intersection d’une droite et d’un plan

Prenons la droite de représentation x = 1 + t, y = 2 − t, z = t et le plan d’équation x + y + z − 4 = 0. On remplace : (1 + t) + (2 − t) + t − 4 = t − 1. L’équation t − 1 = 0 donne t = 1, donc le point d’intersection est (2 ; 1 ; 1). On vérifie : 2 + 1 + 1 − 4 = 0.

Projeté orthogonal et distance

Le projeté orthogonal H d’un point A sur un plan P est le point de P tel que AH soit orthogonal au plan. Il se trouve comme intersection de P et de la droite passant par A de vecteur directeur n. La distance de A(x₀ ; y₀ ; z₀) au plan d’équation ax + by + cz + d = 0 est :

d(A, P) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Cette distance est aussi la longueur AH, ce qui offre un moyen de contrôler son résultat.

Exemple traité pas à pas

On se place dans un repère orthonormé. Soit le plan P d’équation 2x + y − 2z + 3 = 0 et le point A(2 ; 1 ; −1). On cherche le projeté orthogonal H de A sur P, puis la distance de A à P.

Étape 1 : le vecteur normal. Les coefficients de l’équation donnent n(2 ; 1 ; −2). Sa norme est √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.

Étape 2 : la droite perpendiculaire à P passant par A. Elle a pour vecteur directeur n. Une représentation paramétrique est : x = 2 + 2t, y = 1 + t, z = −1 − 2t.

Étape 3 : l’intersection avec P. On remplace dans l’équation du plan :

• 2(2 + 2t) = 4 + 4t
• y = 1 + t
• −2(−1 − 2t) = 2 + 4t
• Somme avec le terme constant : 4 + 4t + 1 + t + 2 + 4t + 3 = 10 + 9t

L’équation 10 + 9t = 0 donne t = −10/9.

Étape 4 : les coordonnées de H. On reporte t = −10/9 :

• x = 2 − 20/9 = −2/9
• y = 1 − 10/9 = −1/9
• z = −1 + 20/9 = 11/9

Donc H(−2/9 ; −1/9 ; 11/9).

Étape 5 : la distance. La formule donne |2 × 2 + 1 − 2 × (−1) + 3| / 3 = |4 + 1 + 2 + 3| / 3 = 10/3.

Étape 6 : les vérifications. D’une part, H est dans P : 2 × (−2/9) + (−1/9) − 2 × (11/9) + 3 = (−4 − 1 − 22)/9 + 3 = −3 + 3 = 0. D’autre part, AH = |t| × ||n|| = (10/9) × 3 = 10/3, ce qui coïncide avec la formule de distance. Refaites ce calcul avec un autre point avant de passer à la suite : c’est ce qui fixe la méthode.

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

Face à un énoncé de géométrie dans l’espace en terminale, une démarche stable évite de se perdre dans les calculs.

1. Relever les objets : points, droites, plans, et ce que fournit chaque énoncé (point, vecteur directeur, vecteur normal, équation).
2. Écrire ce qui manque : un vecteur AB, une représentation paramétrique, ou un vecteur normal lu dans l’équation cartésienne.
3. Choisir l’outil selon la question : colinéarité pour le parallélisme, produit scalaire pour l’orthogonalité, substitution dans l’équation pour une intersection.
4. Poser les calculs en colonnes de coordonnées, sans sauter d’étape, et garder les fractions exactes plutôt que des valeurs approchées.
5. Conclure par une phrase qui répond à la question posée, puis tester le résultat : un point dans l’équation du plan, un produit scalaire nul, une longueur recalculée autrement.

Si une vérification échoue, cherchez d’abord une erreur de signe dans le calcul d’un vecteur ou dans la valeur de d. Cette erreur est la plus fréquente, et la repérer vite préserve le reste de la démonstration.

Hugo Arbonnier