Limites de fonctions

Donner un sens précis à une limite

Une limite décrit le comportement d’une fonction quand la variable s’approche d’une valeur ou part vers l’infini. On ne cherche pas toujours la valeur de la fonction au point étudié. On cherche ce que les images finissent par approcher.

Écrire lim f(x) = L quand x tend vers a signifie que les valeurs de f(x) deviennent aussi proches que l’on veut du nombre L, dès que x est suffisamment proche de a. La fonction peut même ne pas être définie en a.

Écrire lim f(x) = +∞ quand x tend vers a signifie que f(x) devient plus grand que n’importe quel seuil fixé, quand x s’approche de a. De même, une limite égale à -∞ signifie que les images deviennent aussi négatives que l’on veut.

Il faut distinguer plusieurs situations :

• x tend vers un réel a : on observe la fonction près d’un point.
• x tend vers +∞ : on observe la fonction quand x devient très grand.
• x tend vers -∞ : on observe la fonction quand x devient très négatif.
• limite à gauche : x s’approche de a avec x inférieur à a.
• limite à droite : x s’approche de a avec x supérieur à a.

Quand les limites à gauche et à droite en un réel a sont différentes, la limite en a n’existe pas. C’est un point classique dans les fonctions avec quotient, racine ou valeur absolue.

Les limites usuelles à maîtriser

Les calculs de limites reposent d’abord sur des formes connues. On les combine ensuite avec les opérations sur les fonctions. Le réflexe consiste à reconnaître la partie dominante de l’expression.

Fonction	Quand x tend vers +∞	Quand x tend vers -∞
x	+∞	-∞
x2	+∞	+∞
x3	+∞	-∞
1 / x	0	0
ex	+∞	0
ln(x)	+∞	Non défini sur les réels négatifs

Pour les polynômes, le terme de plus haut degré commande la limite à l’infini. Par exemple, 4x3 - x2 + 7 se comporte comme 4x3 quand x part vers l’infini.

Pour les quotients de polynômes, on compare les degrés du numérateur et du dénominateur :

• si le degré du numérateur est plus petit, la limite à l’infini est 0 ;
• si les deux degrés sont égaux, la limite est le quotient des coefficients dominants ;
• si le degré du numérateur est plus grand, la limite est infinie ou n’existe pas selon le signe et la parité.

Les fonctions exponentielles dominent les puissances à l’infini positif. Ainsi, une expression du type x2 / ex tend vers 0 quand x tend vers +∞. Les puissances dominent le logarithme : ln(x) / x tend vers 0 quand x tend vers +∞.

Opérations et formes indéterminées

Les opérations sur les limites fonctionnent bien quand elles ne produisent pas de conflit. Si f tend vers A et g tend vers B, alors f + g tend vers A + B, fg tend vers AB, et f / g tend vers A / B si B n’est pas nul.

Le danger vient des formes indéterminées. Elles ne donnent aucune réponse immédiate. Il faut transformer l’expression.

• +∞ - ∞ : factoriser ou réduire au même dénominateur.
• 0 × ∞ : transformer en quotient.
• ∞ / ∞ : factoriser par le terme dominant.
• 0 / 0 : factoriser, simplifier, utiliser une identité remarquable.

Une forme indéterminée n’est pas une erreur. C’est un signal. Elle indique qu’un calcul direct ne suffit pas. La bonne réponse dépend de la structure exacte de l’expression.

Factoriser par le terme dominant

À l’infini, on factorise souvent par la plus grande puissance de x. Dans un quotient, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par la même puissance dominante. Cela fait apparaître des termes qui tendent vers 0.

Simplifier près d’un réel

Quand x tend vers un réel et qu’un quotient donne 0 / 0, on cherche un facteur commun. Les identités remarquables sont fréquentes : x2 - a2 = (x - a)(x + a). Après simplification, on calcule la limite de l’expression obtenue, pas la valeur interdite de départ.

Asymptotes, signes et comparaison

Les limites servent aussi à lire la forme d’une courbe. Si lim f(x) = +∞ ou -∞ quand x tend vers a, la droite d’équation x = a est une asymptote verticale, à condition que la fonction soit étudiée près de ce point.

Si lim f(x) = L quand x tend vers +∞ ou -∞, la droite d’équation y = L est une asymptote horizontale du côté étudié.

Pour une limite infinie en un réel, le signe est décisif. Par exemple, dans un quotient, si le numérateur tend vers un nombre positif non nul et le dénominateur tend vers 0, la limite dépend du signe du dénominateur. Il faut donc séparer la limite à gauche et la limite à droite.

Les théorèmes de comparaison permettent aussi de conclure. Si f(x) ≤ g(x) près du point étudié et si f(x) tend vers +∞, alors g(x) tend vers +∞. Si une fonction est encadrée entre deux fonctions qui tendent vers la même limite réelle, alors elle tend vers cette limite. C’est le principe d’encadrement.

Exemples traités pas à pas

Exemple 1 : quotient de polynômes à l’infini

On cherche la limite de (3x2 - 5x + 1) / (2x2 + 7) quand x tend vers +∞.

1. On repère les termes dominants : 3x2 au numérateur et 2x2 au dénominateur.
2. Les deux polynômes ont le même degré. On peut déjà prévoir une limite finie égale au quotient des coefficients dominants.
3. On divise tout par x2 : (3 - 5 / x + 1 / x2) / (2 + 7 / x2).
4. Quand x tend vers +∞, 5 / x, 1 / x2 et 7 / x2 tendent vers 0.
5. La limite vaut donc 3 / 2.

Exemple 2 : forme 0 / 0 près d’un réel

On cherche la limite de (x2 - 4) / (x - 2) quand x tend vers 2.

1. Le remplacement direct donne (22 - 4) / (2 - 2), soit 0 / 0. La forme est indéterminée.
2. On factorise le numérateur : x2 - 4 = (x - 2)(x + 2).
3. Pour x différent de 2, on simplifie : ((x - 2)(x + 2)) / (x - 2) = x + 2.
4. La limite cherchée est donc la limite de x + 2 quand x tend vers 2.
5. On obtient 2 + 2 = 4.

Exemple 3 : limite infinie et signe

On cherche le comportement de (2x + 1) / (x - 1) quand x tend vers 1.

Le numérateur tend vers 3, donc vers un nombre positif. Le dénominateur tend vers 0. À gauche de 1, x - 1 est négatif, donc le quotient tend vers -∞. À droite de 1, x - 1 est positif, donc le quotient tend vers +∞. Les deux limites latérales sont différentes. La limite en 1 n’existe pas, mais la droite x = 1 est une asymptote verticale.

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

1. Identifier le lieu de la limite : près d’un réel, vers +∞, vers -∞, à gauche ou à droite.
2. Essayer le calcul direct si les fonctions sont définies et compatibles. Une limite réelle immédiate se trouve souvent ainsi.
3. Repérer une forme indéterminée. Ne pas conclure trop vite devant 0 / 0, ∞ / ∞, +∞ - ∞ ou 0 × ∞.
4. Choisir la transformation adaptée : factorisation, simplification, réduction au même dénominateur, division par le terme dominant, comparaison.
5. Étudier les signes quand un dénominateur tend vers 0. Séparer gauche et droite si nécessaire.
6. Rédiger la conclusion avec la variable, le point étudié et la valeur de la limite. Si la limite n’existe pas, expliquer pourquoi.

En contrôle, on gagne du temps en écrivant peu, mais juste. Une ligne pour la forme indéterminée, une ligne pour la transformation, une ligne pour la conclusion. Le calcul doit montrer le raisonnement, pas seulement le résultat.

Hugo Arbonnier