Le logarithme népérien

Définition et idée générale

Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle sur les réels strictement positifs. Cela signifie que ln(x) est le nombre qu’il faut mettre en exposant de e pour obtenir x.

On retient donc l’équivalence fondamentale :

ln(x) = a signifie exactement e^a = x, avec x > 0.

Cette phrase règle déjà une grande partie du cours. Le logarithme népérien ne s’applique qu’à un nombre strictement positif. Les écritures ln(0) et ln(-3) n’ont pas de sens dans le cadre réel.

Les deux valeurs de base à retenir :

• ln(1) = 0, car e⁰ = 1.
• ln(e) = 1, car e¹ = e.

La fonction logarithme népérien transforme une multiplication en addition. C’est son intérêt principal en calcul. Elle permet aussi de résoudre des équations où l’inconnue se trouve en exposant.

Attention à une erreur fréquente : ln(a + b) ne se simplifie pas en ln(a) + ln(b). Cette formule est fausse. Les propriétés de calcul portent sur les produits, les quotients et les puissances, pas sur les sommes.

Propriétés de calcul à connaître

Les formules suivantes sont valables lorsque tous les logarithmes écrits ont un sens. En pratique, il faut donc vérifier que les expressions à l’intérieur de ln sont strictement positives.

Formule	Condition	Lecture
ln(ab) = ln(a) + ln(b)	a > 0 et b > 0	Le logarithme d’un produit devient une somme.
ln(a / b) = ln(a) - ln(b)	a > 0 et b > 0	Le logarithme d’un quotient devient une différence.
ln(an) = n ln(a)	a > 0	Un exposant sort devant le logarithme.
ln(1 / a) = -ln(a)	a > 0	L’inverse change le signe du logarithme.
ln(ex) = x	x réel	Le logarithme annule l’exponentielle.
eln(x) = x	x > 0	L’exponentielle annule le logarithme.

Ces formules servent dans deux sens. On peut développer une expression, par exemple ln(3x) en ln(3) + ln(x), si x > 0. On peut aussi condenser une expression, par exemple ln(x) + ln(x + 1) en ln(x(x + 1)), si x > 0 et x + 1 > 0.

Dans une copie, il faut écrire les conditions dès qu’une expression contient une variable. Par exemple, ln(x - 2) impose x - 2 > 0, donc x > 2. Sans cette condition, une résolution peut donner des solutions interdites.

Variations, signe et limites

La fonction ln est définie sur ]0 ; +∞[. Elle est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est :

(ln x)' = 1 / x

Comme 1 / x est strictement positif pour tout x > 0, la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

Cette croissance donne le signe de ln(x) :

• si 0 < x < 1, alors ln(x) < 0 ;
• si x = 1, alors ln(x) = 0 ;
• si x > 1, alors ln(x) > 0.

Les limites de référence sont également essentielles :

• quand x tend vers 0 par valeurs positives, ln(x) tend vers -∞ ;
• quand x tend vers +∞, ln(x) tend vers +∞.

Graphiquement, la courbe de ln possède une asymptote verticale d’équation x = 0. Elle passe par les points de coordonnées (1 ; 0) et (e ; 1). Elle monte toujours, mais de plus en plus lentement.

Une propriété utile en comparaison : puisque ln est strictement croissante, on peut appliquer ln aux deux membres d’une inégalité positive sans changer le sens. Par exemple, si 0 < a < b, alors ln(a) < ln(b).

Inversement, si ln(a) < ln(b) avec a > 0 et b > 0, alors a < b. Cette idée revient souvent dans les équations et inéquations.

Équations et inéquations avec ln

Résoudre une équation logarithmique

Le premier réflexe consiste à déterminer le domaine de validité. Ensuite seulement, on transforme l’équation.

Exemple : résoudre ln(x - 1) = ln(5).

1. Condition d’existence : x - 1 > 0, donc x > 1.
2. Comme ln est strictement croissante, ln(x - 1) = ln(5) équivaut à x - 1 = 5.
3. On obtient x = 6.
4. Vérification : 6 > 1, donc la solution est admise.

Solution : x = 6.

Résoudre avec l’exponentielle

Quand l’équation contient un seul logarithme, on peut utiliser l’exponentielle.

Exemple : résoudre ln(2x + 3) = 4.

1. Condition : 2x + 3 > 0, donc x > -3 / 2.
2. On applique l’exponentielle : e^{ln(2x + 3)} = e⁴.
3. Donc 2x + 3 = e⁴.
4. On isole x : 2x = e⁴ - 3, puis x = (e⁴ - 3) / 2.
5. Vérification : 2x + 3 = e⁴ > 0, donc la solution est admise.

Solution : x = (e⁴ - 3) / 2.

Résoudre une inéquation

Exemple : résoudre ln(x) < 2.

1. Condition : x > 0.
2. Comme ln est strictement croissante, ln(x) < 2 équivaut à x < e².
3. On combine avec la condition : 0 < x < e².

Solution : x ∈ ]0 ; e²[.

Le piège principal vient du domaine. Si une résolution donne plusieurs valeurs, il faut supprimer celles qui rendent l’argument du logarithme négatif ou nul.

Dériver et étudier une fonction avec ln

En Terminale, le logarithme népérien apparaît souvent dans des fonctions composées. La règle à retenir est :

Si u est une fonction strictement positive et dérivable, alors (ln(u))' = u' / u.

Exemple : étudier les variations de f(x) = ln(x² + 1).

1. Domaine : x² + 1 > 0 pour tout réel x. La fonction est donc définie sur R.
2. On pose u(x) = x² + 1. Alors u'(x) = 2x.
3. Donc f'(x) = 2x / (x² + 1).
4. Le dénominateur x² + 1 est toujours strictement positif. Le signe de f'(x) est donc celui de 2x.
5. Ainsi, f'(x) < 0 si x < 0, f'(0) = 0, et f'(x) > 0 si x > 0.

Conclusion : f est décroissante sur ]-∞ ; 0], puis croissante sur [0 ; +∞[. Elle admet un minimum en 0, égal à f(0) = ln(1) = 0.

Cette méthode fonctionne dès qu’on sait identifier l’expression placée dans le logarithme. On commence toujours par vérifier sa stricte positivité, puis on dérive avec la formule u' / u, enfin on étudie le signe de la dérivée.

Autre point classique : les limites avec logarithme. On utilise les limites de référence et les formes algébriques. Par exemple, quand x tend vers +∞, ln(x + 1) tend vers +∞, car x + 1 tend vers +∞. Quand x tend vers 0 par valeurs supérieures, ln(x) tend vers -∞.

Méthode le jour de l’évaluation

Face à un exercice sur le logarithme népérien, appliquez une méthode fixe. Elle évite la plupart des erreurs.

1. Repérez les logarithmes. Chaque expression de la forme ln(u) impose u > 0.
2. Écrivez le domaine avant de calculer. Ne gardez jamais une solution sans l’avoir testée dans les conditions d’existence.
3. Choisissez la bonne transformation. Pour un produit, utilisez ln(ab) = ln(a) + ln(b). Pour un quotient, utilisez ln(a / b) = ln(a) - ln(b). Pour une puissance, utilisez ln(aⁿ) = n ln(a).
4. N’inventez pas de formule sur les sommes. ln(a + b) ne devient jamais ln(a) + ln(b).
5. Pour une équation, exploitez la réciprocité. ln(A) = ln(B) donne A = B, à condition que A > 0 et B > 0. ln(A) = k donne A = e^k.
6. Pour une inéquation, utilisez la croissance de ln. Sur ]0 ; +∞[, le logarithme est strictement croissant. Le sens de l’inégalité ne change pas.
7. Pour une étude de fonction, dérivez proprement. Si f(x) = ln(u(x)), alors f'(x) = u'(x) / u(x), avec u(x) > 0.
8. Terminez par une conclusion claire. Donnez l’ensemble des solutions, les variations ou la limite demandée, sans laisser de calcul isolé.

Avant de rendre la copie, vérifiez trois points : les arguments des logarithmes sont strictement positifs, les formules utilisées concernent bien des produits ou des quotients, et les solutions finales respectent le domaine de départ.

Hugo Arbonnier