Primitives et intégrales

Comprendre le lien entre primitive, dérivée et intégrale

Une primitive sert à remonter une dérivée. Si une fonction F est dérivable sur un intervalle et si F'(x) = f(x) pour tout x de cet intervalle, alors F est une primitive de f.

Le point essentiel tient en une phrase : primitiver, c’est faire l’opération inverse de dériver. Mais cette opération n’est jamais unique. Si F est une primitive de f, alors F + C est aussi une primitive de f, pour toute constante réelle C. En effet, la dérivée d’une constante est nulle.

Exemple simple : une primitive de f(x) = 2x est F(x) = x2, car F'(x) = 2x. Mais x2 + 7, x2 - 3 ou x2 + C conviennent aussi.

L’intégrale définie ajoute une borne de départ et une borne d’arrivée. Pour une fonction continue f sur un intervalle contenant a et b, on note ∫ab f(x) dx. Si F est une primitive de f, alors :

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Cette formule est centrale. Elle permet de calculer une intégrale à partir d’une primitive. On ne garde pas la constante C, car elle s’annule dans la différence : F(b) + C - F(a) - C = F(b) - F(a).

Primitives usuelles à connaître

Les primitives se trouvent souvent par reconnaissance. Il faut donc maîtriser les formes de base, puis les adapter aux expressions composées.

Fonction f(x)	Une primitive F(x)	Condition
k	kx	k réel
xn	xn+1 / (n + 1)	n ≠ -1
1 / x	ln(x)	x > 0
1 / x	ln(-x)	x < 0
ex	ex	tout réel
eax+b	(1 / a)eax+b	a ≠ 0
cos(x)	sin(x)	tout réel
sin(x)	-cos(x)	tout réel
u'(x)eu(x)	eu(x)	u dérivable
u'(x) / u(x)	ln(u(x))	u(x) > 0

La difficulté vient rarement de la formule brute. Elle vient du facteur qui manque ou qui se cache. Par exemple, pour primitiver 6x e3x2, on reconnaît u(x) = 3x2 et u'(x) = 6x. Une primitive est donc e3x2.

Autre exemple : pour f(x) = 4 / (2x + 1), on repère u(x) = 2x + 1 et u'(x) = 2. Comme 4 = 2 × 2, une primitive est 2ln(2x + 1), sur un intervalle où 2x + 1 > 0. On vérifie : la dérivée de 2ln(2x + 1) vaut 2 × 2 / (2x + 1) = 4 / (2x + 1).

Calculer une intégrale : exemple traité pas à pas

Calculons :

∫₁³ (2x + 3) dx

1. Trouver une primitive. Une primitive de 2x est x2. Une primitive de 3 est 3x. Donc une primitive de 2x + 3 est F(x) = x2 + 3x.
2. Appliquer la formule. ∫13 (2x + 3) dx = F(3) - F(1).
3. Calculer les valeurs. F(3) = 32 + 3 × 3 = 9 + 9 = 18. Puis F(1) = 12 + 3 × 1 = 1 + 3 = 4.
4. Conclure. L’intégrale vaut 18 - 4 = 14.

Le résultat 14 peut aussi se lire comme une aire algébrique. Comme 2x + 3 est positive sur l’intervalle [1 ; 3], l’intégrale correspond à l’aire située entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = 1 et x = 3.

Voici un second exemple, plus exigeant :

∫₀¹ 4x e^2x2+1 dx

1. On reconnaît une forme u'(x)eu(x).
2. On pose mentalement u(x) = 2x2 + 1. Alors u'(x) = 4x.
3. Une primitive est donc F(x) = e2x2+1.
4. On calcule F(1) - F(0).
5. F(1) = e2×12+1 = e3 et F(0) = e2×02+1 = e.
6. L’intégrale vaut e3 - e.

On ne cherche pas une valeur décimale si l’expression exacte est simple. En mathématiques, e3 - e est une réponse exacte, plus propre qu’une approximation.

Propriétés à utiliser sans hésiter

Les intégrales obéissent à des règles de calcul. Elles permettent de simplifier une expression, de découper un intervalle ou de comparer des aires.

• Linéarité : ∫ab (αf(x) + βg(x)) dx = α∫ab f(x) dx + β∫ab g(x) dx.
• Relation de Chasles : ∫ac f(x) dx = ∫ab f(x) dx + ∫bc f(x) dx.
• Bornes inversées : ∫ba f(x) dx = -∫ab f(x) dx.
• Bornes identiques : ∫aa f(x) dx = 0.
• Positivité : si f(x) ≥ 0 sur [a ; b], alors ∫ab f(x) dx ≥ 0.
• Comparaison : si f(x) ≤ g(x) sur [a ; b], alors ∫ab f(x) dx ≤ ∫ab g(x) dx.

Attention au vocabulaire : une intégrale est une aire algébrique. Si la fonction est négative sur un intervalle, l’intégrale est négative. L’aire géométrique, elle, reste positive. Pour obtenir une aire entre une courbe et l’axe des abscisses, il faut tenir compte du signe de la fonction et parfois découper l’intervalle.

Exemple : si f(x) = x sur [-1 ; 1], alors ∫-11 x dx = 0. Les deux zones se compensent, l’une sous l’axe, l’autre au-dessus. Mais l’aire géométrique totale n’est pas nulle.

Pièges classiques et réflexes de vérification

Ne pas oublier la constante pour les primitives

Quand on demande « déterminer les primitives », il faut écrire la famille complète : F(x) + C, avec C réel. Quand on calcule une intégrale, la constante est inutile.

Surveiller les conditions d’existence

La fonction ln(x) n’existe que pour x > 0. Pour une expression comme ln(2x - 5), il faut travailler sur un intervalle où 2x - 5 > 0. De même, une fraction impose que le dénominateur ne soit pas nul.

Vérifier par dérivation

Le meilleur test reste la dérivée. Si on propose une primitive F de f, on dérive F. Si on retombe sur f, la primitive est correcte. Ce réflexe évite beaucoup d’erreurs de facteur.

Exemple : on cherche une primitive de cos(3x). Écrire sin(3x) est faux, car sa dérivée vaut 3cos(3x). Il faut compenser par 1 / 3. Une primitive est (1 / 3)sin(3x).

Bien lire les bornes

Dans ∫25 f(x) dx, on calcule F(5) - F(2). Inverser les deux valeurs change le signe du résultat. Une erreur de sens peut rendre faux tout un calcul pourtant bien préparé.

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

1. Identifier la question. Primitive ou intégrale définie ? Pour une primitive, donner une fonction, souvent avec + C. Pour une intégrale, donner un nombre ou une expression exacte.
2. Repérer la forme. Chercher une somme, un produit par une constante, une puissance, une exponentielle, une forme u'eu ou u'/u.
3. Trouver une primitive proprement. Écrire F(x) = .... Si un facteur manque, l’ajuster. Ne pas deviner trop vite.
4. Vérifier mentalement par dérivation. Cette étape prend peu de temps et repère les erreurs de signe ou de coefficient.
5. Appliquer les bornes dans le bon ordre. Pour ∫ab f(x) dx, calculer toujours F(b) - F(a).
6. Simplifier sans arrondir inutilement. Garder les formes exactes : fractions, racines, puissances de e, logarithmes.
7. Interpréter seulement si la question le demande. Pour une aire, vérifier le signe de la fonction. Si elle change de signe, découper l’intervalle.

Dernier réflexe : écrire assez d’étapes pour montrer le raisonnement. Une primitive posée, les valeurs aux bornes, puis la conclusion. C’est court, clair et difficile à contester.

Hugo Arbonnier