Mathématiques · Terminale
Probabilités conditionnelles
On saura calculer une probabilité conditionnelle, lire un arbre pondéré et repérer une indépendance. On évitera les confusions entre événement connu, intersection et probabilité inverse.
- Calculer une probabilité conditionnelle avec la formule adaptée.
- Traduire un énoncé en arbre pondéré ou en tableau.
- Utiliser la formule des probabilités totales dans un exercice.
- Reconnaître deux événements indépendants et justifier la réponse.
Comprendre l’idée de probabilité conditionnelle
Une probabilité conditionnelle mesure la probabilité d’un événement quand on sait déjà qu’un autre événement est réalisé. On ne travaille plus sur tout l’univers, mais sur une partie de cet univers.
On note PA(B) la probabilité de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé. Cette notation se lit : « probabilité de B sachant A ».
La formule de base est :
PA(B) = P(A ∩ B) / P(A), avec P(A) ≠ 0.
L’événement A ∩ B signifie que A et B se réalisent en même temps. Le dénominateur P(A) rappelle que l’on raisonne seulement parmi les issues où A est réalisé.
Une phrase permet souvent d’éviter les erreurs : si on sait que A est réalisé, alors A devient le nouvel univers. On cherche ensuite la part de B dans cet univers réduit.
À ne pas confondre
PA(B) et PB(A) ne désignent pas la même chose. La première probabilité suppose que A est réalisé. La seconde suppose que B est réalisé. Elles peuvent être égales dans certains cas, mais ce n’est pas une règle.
De même, P(A ∩ B) n’est pas une probabilité conditionnelle. C’est la probabilité que les deux événements se produisent simultanément.
Formules essentielles à maîtriser
Les probabilités conditionnelles reposent sur quelques formules. Elles doivent être connues, mais surtout comprises. Dans un exercice, on les utilise souvent avec un arbre pondéré ou un tableau.
| Situation | Formule | Condition |
|---|---|---|
| Probabilité de B sachant A | PA(B) = P(A ∩ B) / P(A) | P(A) ≠ 0 |
| Probabilité d’une intersection | P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) | P(A) ≠ 0 |
| Formule symétrique | P(A ∩ B) = P(B) × PB(A) | P(B) ≠ 0 |
| Événement contraire | PA(Bc) = 1 - PA(B) | P(A) ≠ 0 |
| Probabilités totales avec A et Ac | P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B) | A et Ac forment deux cas complémentaires |
La formule d’intersection est très fréquente dans les arbres. Sur une branche qui mène à A, puis à B, on multiplie les probabilités inscrites sur les branches parcourues :
P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
Quand plusieurs chemins aboutissent au même événement, on additionne les probabilités de ces chemins. C’est l’idée de la formule des probabilités totales.
Utiliser un arbre pondéré
Un arbre pondéré organise les informations. Il sert à visualiser les événements successifs et les probabilités conditionnelles. Chaque niveau correspond à un choix ou à une information.
Si le premier niveau comporte les événements A et Ac, alors les probabilités sur ces deux branches doivent avoir une somme égale à un :
P(A) + P(Ac) = 1.
Depuis la branche A, on peut ensuite placer B et Bc. Les probabilités inscrites à ce niveau sont des probabilités conditionnelles :
- PA(B) sur la branche allant de A vers B ;
- PA(Bc) sur la branche allant de A vers Bc ;
- PAc(B) sur la branche allant de Ac vers B ;
- PAc(Bc) sur la branche allant de Ac vers Bc.
Deux réflexes suffisent pour exploiter un arbre :
- pour calculer la probabilité d’un chemin, on multiplie les branches du chemin ;
- pour calculer la probabilité d’un événement atteint par plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins.
Cette méthode évite de mélanger les probabilités simples, les probabilités conditionnelles et les intersections.
Exemple traité pas à pas
Une classe prépare une évaluation. On considère deux événements :
- A : l’élève a révisé avec une fiche ;
- B : l’élève réussit l’évaluation.
On donne les informations suivantes :
- P(A) = 0,60 ;
- PA(B) = 0,80 ;
- PAc(B) = 0,35.
On cherche d’abord la probabilité qu’un élève ait révisé avec une fiche et réussisse l’évaluation.
On applique la formule du chemin :
P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
Donc :
P(A ∩ B) = 0,60 × 0,80 = 0,48.
La probabilité qu’un élève ait révisé avec une fiche et réussisse est donc 0,48.
On cherche maintenant la probabilité totale de réussir l’évaluation, c’est-à-dire P(B). Deux chemins mènent à B :
- A puis B ;
- Ac puis B.
On connaît déjà le premier chemin : P(A ∩ B) = 0,48.
Pour le second chemin, on calcule d’abord P(Ac) :
P(Ac) = 1 - P(A) = 1 - 0,60 = 0,40.
Puis :
P(Ac ∩ B) = P(Ac) × PAc(B).
Donc :
P(Ac ∩ B) = 0,40 × 0,35 = 0,14.
On additionne les deux chemins :
P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B) = 0,48 + 0,14 = 0,62.
La probabilité de réussir l’évaluation est 0,62.
Dernière question : on sait qu’un élève a réussi. Quelle est la probabilité qu’il ait révisé avec une fiche ? On cherche PB(A).
On utilise la définition :
PB(A) = P(A ∩ B) / P(B).
Donc :
PB(A) = 0,48 / 0,62 = 48 / 62 = 24 / 31.
On peut garder la valeur exacte 24 / 31, ou donner une valeur approchée si l’énoncé le demande.
Indépendance et pièges classiques
Deux événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre. Autrement dit :
PA(B) = P(B), avec P(A) ≠ 0.
On peut aussi utiliser la condition équivalente :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Attention : indépendance ne signifie pas incompatibilité. Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire en même temps. Dans ce cas, P(A ∩ B) = 0. Deux événements indépendants peuvent très bien se produire ensemble.
Exemple de confusion fréquente : si A et B sont incompatibles, alors savoir que A est réalisé empêche B de se réaliser. La probabilité de B sachant A vaut donc zéro. Ce n’est pas une situation d’indépendance, sauf cas particulier où B a déjà une probabilité nulle.
Autre piège : confondre « sachant que » avec « et ». La phrase « probabilité de réussir sachant que l’élève a révisé » correspond à PA(B). La phrase « probabilité d’avoir révisé et de réussir » correspond à P(A ∩ B).
Méthode à appliquer le jour de l’évaluation
Commence par traduire l’énoncé avec des événements clairs. Choisis des lettres simples, puis écris leur signification. Par exemple : A pour « avoir révisé », B pour « réussir ».
Repère ensuite les mots importants. « Sachant que » annonce une probabilité conditionnelle. « Et » annonce souvent une intersection. « Ou » peut annoncer une union, à traiter avec prudence.
Construis un arbre si l’énoncé donne des informations conditionnelles. Place les probabilités simples au premier niveau, puis les probabilités conditionnelles au second niveau. Vérifie que les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à un.
Pour répondre à une question, identifie la forme attendue :
- si on demande un chemin complet, multiplie les probabilités des branches ;
- si plusieurs chemins mènent au même événement, additionne les chemins ;
- si on demande une probabilité « sachant que », écris une fraction avec une intersection au numérateur ;
- si on demande une indépendance, compare PA(B) et P(B), ou compare P(A ∩ B) et P(A) × P(B).
Garde les valeurs exactes tant que possible. Arrondis seulement si la consigne le demande. Écris toujours la formule avant le calcul. Cette habitude limite les erreurs de sens et rend le raisonnement lisible.
Hugo Arbonnier
- Le piège : confondre P(A sachant B) et P(B sachant A), puis relire la phrase en cherchant l'événement déjà connu.
- Le piège : oublier que la probabilité d'une branche se multiplie avec les branches précédentes, puis écrire l'intersection avant de calculer.
- Le piège : additionner des chemins qui ne mènent pas au même événement, puis entourer tous les chemins favorables sur l'arbre.
- Le piège : déclarer deux événements indépendants parce qu'ils semblent sans lien, puis vérifier avec une égalité de probabilités.
Les points viennent surtout de la modélisation : nommer les événements, écrire la bonne probabilité conditionnelle et construire un arbre cohérent. Le calcul seul ne suffit pas si l'intersection, la probabilité totale ou l'indépendance ne sont pas justifiées.
Professeur de mathématiques
Hugo Arbonnier signe les contenus de mathématiques, de physique-chimie et de NSI avec une priorité simple : rendre les notions vérifiables, utilisables, sans les réduire à des recettes. Sa ligne éditoriale priv...
Questions fréquentes
On nous demande souvent
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
On utilise la probabilité de l'intersection divisée par la probabilité de l'événement connu. Avant de calculer, il faut identifier clairement ce qui est déjà réalisé.
Quand utiliser un arbre pondéré ?
On l'utilise quand l'expérience se fait en étapes ou quand l'énoncé donne des informations avec des « sachant que ». Chaque chemin correspond à une intersection, et les chemins compatibles se regroupent ensuite.
Comment savoir si deux événements sont indépendants ?
On vérifie si la probabilité de l'un ne change pas quand l'autre est réalisé. En pratique, on compare une probabilité conditionnelle avec la probabilité simple correspondante.
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