Statistiques : moyenne, écart-type, quartiles

Statistiques au lycée : vocabulaire et organisation des données

Les statistiques du lycée relèvent de la statistique descriptive : on résume une série de données par quelques nombres. La statistique mathématique, avec ses estimations et ses tests, vient plus tard dans les études supérieures. En maths au lycée, l’objectif est donc de décrire, de comparer et d’interpréter.

Le vocabulaire est la première chose vérifiée dans une copie. Voici les mots à maîtriser :

• la population : l’ensemble des individus étudiés (les élèves d’une classe, par exemple) ;
• le caractère : ce que l’on observe sur chaque individu (une note, une taille, une couleur). Il est quantitatif s’il se mesure par un nombre, qualitatif sinon ;
• l’effectif d’une valeur : le nombre de fois où elle apparaît. L’effectif total se note N ;
• la fréquence d’une valeur : son effectif divisé par N, souvent écrite en pourcentage.

Les effectifs cumulés croissants s’obtiennent en additionnant les effectifs au fur et à mesure que les valeurs augmentent. Ils servent à repérer rapidement la médiane et les quartiles. Une série à une variable ne porte que sur un caractère. Une série à deux variables en associe deux, observés sur les mêmes individus.

Moyenne, médiane et quartiles

Moyenne simple et moyenne pondérée

La moyenne simple est la somme des valeurs divisée par leur nombre. Quand les valeurs x₁, …, x_p ont pour effectifs n₁, …, n_p, on calcule une moyenne pondérée :

x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + … + n_px_p) / N

On peut aussi utiliser les fréquences : x̄ = f₁x₁ + … + f_px_p. Les coefficients d’une moyenne de notes jouent le rôle des effectifs. La moyenne tient compte de toutes les valeurs, donc une valeur extrême la déplace nettement.

Médiane

La médiane partage la série rangée en deux groupes : au moins 50 % des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins 50 % lui sont supérieures ou égales. Si N est impair, c’est la valeur de rang (N + 1)/2. Si N est pair, on prend la moyenne des valeurs de rang N/2 et N/2 + 1.

Quartiles et écart interquartile

Avec la définition du lycée, le premier quartile Q₁ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des données soient inférieures ou égales à cette valeur. Le troisième quartile Q₃ est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des données lui soient inférieures ou égales.

En pratique, on calcule N × 0,25 puis N × 0,75. Si le résultat n’est pas entier, on l’arrondit à l’entier supérieur. Le quartile est la valeur de la série rangée qui occupe ce rang. Si le résultat est entier, c’est la valeur de ce rang exactement.

L’écart interquartile vaut Q₃ - Q₁. Il mesure la dispersion de la moitié centrale des données et reste peu sensible aux valeurs extrêmes. Médiane et quartiles se représentent dans un diagramme en boîte.

Variance et écart-type

Deux séries peuvent avoir la même moyenne et pourtant être très différentes : l’une regroupée autour de la moyenne, l’autre étalée. La variance et l’écart-type mesurent cet étalement.

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

V = (n₁(x₁ - x̄)² + … + n_p(x_p - x̄)²) / N

Une écriture équivalente, souvent plus rapide à la calculatrice, est V = (moyenne des carrés) - x̄². L’écart-type est la racine carrée de la variance : σ = √V. Il s’exprime dans la même unité que les données, ce qui rend son interprétation plus parlante que celle de la variance.

Plus l’écart-type est petit, plus les valeurs sont resserrées autour de la moyenne. Pour comparer deux séries, on associe moyenne et écart-type, ou médiane et écart interquartile. On ne mélange pas les deux couples dans une même phrase.

Effet d’une transformation affine

Supposons que chaque valeur x_i devienne y_i = ax_i + b. C’est le cas d’un changement d’unité ou d’un barème ramené sur une autre échelle. Alors :

• la moyenne devient ȳ = a x̄ + b ;
• l’écart-type devient σ_y = |a| σ_x ;
• la variance est multipliée par a².

Ajouter b décale toutes les valeurs de la même quantité : la moyenne bouge, la dispersion non. Multiplier par a étire ou resserre la série : moyenne et écart-type sont concernés.

Statistique à deux variables : nuage de points et ajustement affine

Quand on observe deux caractères sur les mêmes individus, chaque individu donne un couple (x_i ; y_i). L’ensemble de ces points dans un repère forme un nuage de points. On le regarde d’abord : les points semblent-ils alignés, groupés en courbe, ou dispersés sans forme ?

Le point moyen G a pour coordonnées (x̄ ; ȳ), les moyennes des deux séries. Il se place sur le nuage comme son centre de gravité.

Si le nuage est allongé le long d’une droite, on cherche un ajustement affine : une droite qui résume la tendance. Sa forme est y = mx + p. Pour la déterminer à la main, on la fait passer par le point moyen G et par un autre point bien choisi du nuage, puis on calcule son coefficient directeur. Si l’équation d’une droite vous pose problème, reprenez la fiche sur les équations de droites, indispensable pour cette étape. Une calculatrice ou un tableur peut aussi fournir une droite d’ajustement : l’énoncé précise alors laquelle utiliser, et vous recopiez ses coefficients sans les inventer.

Une fois la droite obtenue, elle sert à estimer une valeur de y pour un x donné. Dans l’intervalle des données, on parle d’interpolation, et l’estimation est raisonnable. Loin des données, c’est une extrapolation, beaucoup plus fragile. Enfin, un bon alignement montre un lien entre les deux variables, mais ne prouve pas qu’une variable cause l’autre.

Exemple traité pas à pas

Exemple inventé pour s’entraîner : huit notes sur 20 d’un petit groupe fictif, rangées par ordre croissant : 6 ; 8 ; 10 ; 10 ; 12 ; 13 ; 15 ; 16. Voici la série organisée.

Moyenne, médiane, quartiles

1. Moyenne : 6 + 8 + 2 × 10 + 12 + 13 + 15 + 16 = 90, donc x̄ = 90 / 8 = 11,25.
2. Médiane : N = 8 est pair. Les valeurs de rang 4 et 5 sont 10 et 12, donc médiane = (10 + 12) / 2 = 11.
3. Q₁ : 8 × 0,25 = 2, rang entier. La valeur de rang 2 est 8, donc Q₁ = 8. Vérification : 2 valeurs sur 8, soit 25 %, sont inférieures ou égales à 8.
4. Q₃ : 8 × 0,75 = 6. La valeur de rang 6 est 13, donc Q₃ = 13.
5. Écart interquartile : 13 - 8 = 5.

Variance et écart-type

Les carrés des notes valent 36, 64, 100, 100, 144, 169, 225 et 256. Leur somme est 1 094, donc la moyenne des carrés est 1 094 / 8 = 136,75. Comme x̄² = 11,25² = 126,5625, on obtient V = 136,75 - 126,5625 = 10,1875, soit environ 10,19. L’écart-type est σ = √10,1875 ≈ 3,19. En moyenne, les notes s’écartent donc d’environ 3,19 points de la moyenne.

Transformation affine

Imaginons que chaque note x soit remplacée par y = 2x + 1. Alors ȳ = 2 × 11,25 + 1 = 23,5. L’écart-type devient 2 × 3,19 ≈ 6,38, et la variance vaut 4 × 10,1875 = 40,75. Le « + 1 » n’a eu aucun effet sur la dispersion.

Deux variables

Autre série fictive : quatre élèves ont révisé 1 h, 2 h, 3 h et 4 h, et obtenu 8, 10, 13 et 15. Les moyennes sont 10 / 4 = 2,5 pour x et 46 / 4 = 11,5 pour y : G(2,5 ; 11,5). On trace la droite passant par G et par le point (4 ; 15). Son coefficient directeur est (15 - 11,5) / (4 - 2,5) = 3,5 / 1,5 = 7/3, soit environ 2,33. Son ordonnée à l’origine vaut 11,5 - (7/3) × 2,5 ≈ 5,67, d’où y ≈ 2,33x + 5,67. Pour x = 3, la droite donne environ 12,67, contre 13 observé : l’ajustement est cohérent. Quatre points ne suffisent évidemment pas à conclure quoi que ce soit sur de vrais élèves.

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

1. Lisez l’énoncé en repérant la population, le caractère et l’unité.
2. Rangez la série par ordre croissant et notez l’effectif total N.
3. Dressez un tableau d’effectifs, de fréquences et d’effectifs cumulés si les données sont nombreuses.
4. Écrivez la formule avant de calculer : moyenne, variance ou rang du quartile.
5. Pour Q₁ et Q₃, calculez N × 0,25 et N × 0,75, arrondissez à l’entier supérieur si besoin, puis vérifiez le pourcentage de valeurs inférieures ou égales.
6. Gardez les valeurs exactes jusqu’au bout et n’arrondissez qu’au résultat final, au centième si l’énoncé le demande.
7. Pour une transformation affine, appliquez directement a x̄ + b et |a| σ au lieu de tout recalculer.
8. Pour un nuage de points, placez G, tracez la droite, vérifiez qu’elle passe près des points, puis estimez en restant dans le domaine des données.
9. Terminez chaque question par une phrase qui interprète le résultat avec son unité.

Cette démarche aide à refaire et à contrôler soi-même ses calculs : refaites l’exemple ci-dessus sans regarder les étapes, puis comparez vos résultats.

Hugo Arbonnier