Suites arithmétiques et géométriques

Comprendre ce qu’est une suite

Une suite est une liste de nombres rangés dans un ordre précis. Chaque nombre de la suite s’appelle un terme. On le note souvent un, où n désigne le rang du terme.

Par exemple, si une suite commence par 2, 5, 8, 11, on peut écrire :

• u0 = 2 si le premier terme est au rang 0 ;
• u1 = 5 ;
• u2 = 8 ;
• u3 = 11.

Attention au premier rang. Certaines suites commencent à 0, d’autres à 1. Cette information change les formules. Il faut donc toujours lire l’énoncé avant de calculer.

Une suite peut être définie de deux façons principales.

• Par récurrence : on donne un premier terme et une règle pour passer d’un terme au suivant. Exemple : u0 = 2 et un+1 = un + 3.
• Par formule explicite : on donne directement un en fonction de n. Exemple : un = 2 + 3n.

La formule par récurrence sert à avancer terme par terme. La formule explicite sert à calculer directement un terme éloigné, sans calculer tous les précédents.

Suites arithmétiques : ajouter toujours le même nombre

Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre. Ce nombre s’appelle la raison. On la note souvent r.

La définition s’écrit :

un+1 = un + r

Si r est positif, la suite augmente. Si r est négatif, la suite diminue. Si r = 0, la suite est constante.

Reconnaître une suite arithmétique

Pour reconnaître une suite arithmétique à partir de plusieurs termes, on calcule les différences entre deux termes consécutifs.

Exemple : 4, 9, 14, 19.

• 9 - 4 = 5 ;
• 14 - 9 = 5 ;
• 19 - 14 = 5.

La différence est toujours la même. La suite est donc arithmétique de raison 5.

Formule explicite

Si la suite arithmétique commence au rang 0, on utilise :

un = u0 + nr

Si elle commence au rang 1, on utilise :

un = u1 + (n - 1)r

La différence vient du nombre d’étapes. Pour aller de u0 à un, on avance de n étapes. Pour aller de u1 à un, on avance de n - 1 étapes.

Suites géométriques : multiplier toujours par le même nombre

Une suite est géométrique quand on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle aussi la raison. On la note souvent q.

La définition s’écrit :

un+1 = q × un

Par exemple, la suite 3, 6, 12, 24 est géométrique de raison 2, car chaque terme est le double du précédent.

Reconnaître une suite géométrique

Pour reconnaître une suite géométrique à partir de plusieurs termes non nuls, on calcule les quotients entre deux termes consécutifs.

Exemple : 5, 15, 45, 135.

• 15 ÷ 5 = 3 ;
• 45 ÷ 15 = 3 ;
• 135 ÷ 45 = 3.

Le quotient est toujours le même. La suite est donc géométrique de raison 3.

Il faut être prudent avec les termes nuls. Le quotient par zéro n’existe pas. Dans ce cas, on ne peut pas reconnaître une suite géométrique simplement avec des divisions.

Formule explicite

Si la suite géométrique commence au rang 0, on utilise :

un = u0 × qn

Si elle commence au rang 1, on utilise :

un = u1 × qn - 1

L’exposant compte le nombre de multiplications effectuées. C’est l’erreur la plus fréquente : mettre n au lieu de n - 1 quand la suite commence au rang 1.

Formules essentielles et comparaison

Type de suite	Relation de récurrence	Formule si le premier rang est 0	Ce qu’on vérifie
Arithmétique	un+1 = un + r	un = u0 + nr	La différence un+1 - un est constante.
Géométrique	un+1 = q × un	un = u0 × qn	Le quotient un+1 ÷ un est constant, si les termes sont non nuls.

Il ne faut pas mélanger les deux familles. Dans une suite arithmétique, l’écart entre deux termes consécutifs reste constant. Dans une suite géométrique, c’est le facteur multiplicatif qui reste constant.

On peut aussi étudier le sens de variation.

• Pour une suite arithmétique, le signe de r suffit : positive, elle croît ; négative, elle décroît ; nulle, elle est constante.
• Pour une suite géométrique à termes positifs, si q > 1, elle croît ; si 0 < q < 1, elle décroît.
• Si q est négatif, les signes alternent. Il faut alors raisonner avec prudence.

Le contexte aide souvent à choisir le bon modèle. Une augmentation de 20 unités chaque année correspond à une suite arithmétique. Une augmentation de 20 pour cent chaque année correspond à une suite géométrique, car on multiplie par un même coefficient.

Exemple traité pas à pas

On considère la suite définie par u0 = 7 et un+1 = un + 4.

Étape 1 : identifier le type de suite

La relation donne le terme suivant en ajoutant 4. On reconnaît la forme :

un+1 = un + r

La suite est donc arithmétique de raison r = 4.

Étape 2 : calculer quelques termes

• u0 = 7 ;
• u1 = u0 + 4 = 7 + 4 = 11 ;
• u2 = u1 + 4 = 11 + 4 = 15 ;
• u3 = u2 + 4 = 15 + 4 = 19.

Étape 3 : écrire la formule explicite

La suite commence au rang 0. On utilise :

un = u0 + nr

En remplaçant u0 par 7 et r par 4, on obtient :

un = 7 + 4n

Étape 4 : calculer un terme éloigné

Pour calculer u12, on applique la formule explicite :

u12 = 7 + 4 × 12 = 7 + 48 = 55

Donc u12 = 55.

Deuxième exemple, avec une suite géométrique : v1 = 3 et vn+1 = 2vn.

La suite est géométrique de raison 2. Elle commence au rang 1, donc :

vn = v1 × qn - 1

On remplace :

vn = 3 × 2n - 1

Pour calculer v5 :

v5 = 3 × 24 = 3 × 16 = 48

Donc v5 = 48. L’exposant est 4, car on passe de v1 à v5 en quatre multiplications.

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

Commence par repérer le rang du premier terme. Cette information commande toute la suite du raisonnement. Souligne mentalement u0 ou u1, puis adapte la formule.

1. Identifier la forme donnée. Si l’énoncé donne un+1 = un + r, pense arithmétique. S’il donne un+1 = q × un, pense géométrique.
2. Trouver la raison. Pour une suite arithmétique, cherche le nombre ajouté. Pour une suite géométrique, cherche le nombre par lequel on multiplie.
3. Écrire la bonne formule explicite. Ne saute pas cette étape. Elle évite les calculs longs et limite les erreurs de rang.
4. Remplacer proprement les valeurs. Garde les parenthèses si la raison est négative. Vérifie l’exposant dans le cas géométrique.
5. Conclure par une phrase courte. Donne le type de suite, sa raison ou la valeur du terme demandé.

Si l’exercice demande de prouver qu’une suite est arithmétique, calcule un+1 - un et montre que le résultat ne dépend pas de n. Si l’exercice demande de prouver qu’une suite est géométrique, calcule un+1 ÷ un, quand c’est possible, et montre que le quotient est constant.

Relis toujours le résultat. Une suite arithmétique augmente régulièrement par ajout. Une suite géométrique évolue par multiplication. Si le calcul obtenu ne respecte pas cette logique, reprends la formule avant de passer à la question suivante.

Hugo Arbonnier