Dénombrement : arrangements et combinaisons

Dénombrer, c’est compter sans lister : on cherche le nombre de cas possibles d’une situation (codes, tirages, comités) à l’aide d’une formule, jamais en les écrivant un par un. Ce chapitre sert aussi de socle aux probabilités : avant de calculer une probabilité, il faut souvent savoir combien de cas favorables et combien de cas possibles existent. La fiche sur les probabilités conditionnelles s’appuie sur ce même réflexe de comptage.

Principes additif et multiplicatif, produit cartésien

Deux règles de base gouvernent tout le chapitre.

Le principe additif

Si un choix se fait soit dans un ensemble A, soit dans un ensemble B, et que A et B n’ont aucun élément commun, le nombre de choix est Card(A) + Card(B). Le mot clé est « ou », avec des cas qui s’excluent. Un élève qui choisit une boisson parmi 4 jus ou 3 sodas a 4 + 3 = 7 choix possibles.

Le principe multiplicatif

Si une situation se décompose en étapes successives, avec n₁ possibilités à la première, n₂ à la deuxième, et ainsi de suite jusqu’à n_p, le nombre total de résultats est n₁ × n₂ × … × n_p. Le mot clé est « et ». Un menu à 3 entrées, 4 plats et 2 desserts offre 3 × 4 × 2 = 24 repas différents.

Le produit cartésien

Le produit cartésien de deux ensembles E et F, noté E × F, est l’ensemble des couples (x ; y) avec x dans E et y dans F. On a Card(E × F) = Card(E) × Card(F). C’est le principe multiplicatif écrit avec la notation des ensembles. Pour p ensembles, on parle de p-uplets, et le cardinal du produit est le produit des cardinaux.

K-uplets, arrangements et permutations

Ces trois outils répondent à la même idée : l’ordre des éléments compte. Ils ne diffèrent que par la possibilité de répéter un élément.

Les k-uplets (avec répétition)

Un k-uplet d’un ensemble à n éléments est une liste ordonnée de k éléments, où un même élément peut apparaître plusieurs fois. Il y en a n^k, puisqu’on dispose de n choix à chacune des k positions. Un code à 4 chiffres, chaque chiffre pouvant être 0, 1, …, 9, donne 10⁴ = 10 000 codes.

La factorielle

Pour un entier naturel n non nul, on pose n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1, et par convention 0! = 1. Ainsi 5! = 120 et 6! = 720. La factorielle croît très vite : on la simplifie toujours avant de calculer, sans développer.

Les arrangements (sans répétition)

Un arrangement de k éléments pris parmi n est une liste ordonnée de k éléments distincts. Leur nombre est A(n, k) = n! / (n − k)! = n × (n − 1) × … × (n − k + 1), avec k facteurs. Le podium d’une course à 8 coureurs (premier, deuxième, troisième) compte 8 × 7 × 6 = 336 possibilités.

Les permutations

Une permutation de n éléments est un arrangement de tous les éléments, c’est-à-dire le cas k = n. Il y en a n!. Les 5 lettres distinctes du mot MATHS peuvent être rangées de 5! = 120 façons.

Combinaisons, triangle de Pascal et parties d’un ensemble

Quand l’ordre n’a aucune importance, on compte des groupes et non des listes.

Le coefficient binomial

Une combinaison de k éléments parmi n est une partie à k éléments d’un ensemble à n éléments. Leur nombre est le coefficient binomial, lu « k parmi n » : C(n, k) = n! / (k! (n − k)!). Cette formule vient de A(n, k) divisé par k!, car chaque groupe de k éléments apparaît k! fois dans la liste des arrangements, une fois pour chaque ordre possible.

Quelques propriétés à connaître : C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, 1) = n et la symétrie C(n, k) = C(n, n − k). Choisir les k éléments retenus revient à choisir les n − k éléments écartés. Par exemple, C(10, 8) = C(10, 2) = 45.

La relation de Pascal et le triangle

Pour 1 ≤ k ≤ n − 1 : C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Le raisonnement est un principe additif : on fixe un élément particulier. Soit il fait partie du groupe (il reste alors k − 1 éléments à choisir parmi n − 1), soit il n’en fait pas partie (il reste k éléments à choisir parmi n − 1).

Le triangle de Pascal range ces coefficients : chaque terme est la somme des deux termes situés juste au-dessus. Les premières lignes sont 1 ; 1 1 ; 1 2 1 ; 1 3 3 1 ; 1 4 6 4 1 ; 1 5 10 10 5 1. On vérifie la relation : C(5, 2) = C(4, 1) + C(4, 2) = 4 + 6 = 10.

Le nombre de parties d’un ensemble

Un ensemble à n éléments possède 2ⁿ parties, en comptant la partie vide et l’ensemble lui-même. Deux raisons : pour chaque élément, on choisit « dans la partie » ou « hors de la partie », soit 2 choix par élément (principe multiplicatif) ; ou bien on additionne les parties de chaque taille, ce qui donne C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2ⁿ. Un ensemble à 5 éléments a donc 2⁵ = 32 parties, dont C(5, 2) = 10 de taille 2.

Choisir la bonne formule : le tableau de décision

Devant un énoncé, posez-vous deux questions : l’ordre compte-t-il ? et la répétition est-elle permise ? Le tableau suivant résume les réponses pour des tirages de k éléments parmi n.

Situation	L’ordre compte ?	Répétition permise ?	Nombre de cas
k-uplet (code, mot, tirage avec remise ordonné)	Oui	Oui	nk
Arrangement (podium, bureau avec postes distincts)	Oui	Non	n! / (n − k)!
Permutation (rangement de tous les éléments)	Oui	Non, avec k = n	n!
Combinaison (main de cartes, comité sans rôles)	Non	Non	C(n, k)

Le cas restant, sans ordre mais avec répétition, n’est pas à connaître au lycée.

Deux indices de lecture aident. Des mots comme « rôles », « classement », « premier, deuxième » ou « code » signalent un ordre. Des mots comme « groupe », « main », « équipe » ou « sans distinction » signalent l’absence d’ordre. Quant à « avec remise » ou « chiffres pouvant se répéter », ils annoncent la répétition.

Exemples traités pas à pas

Voici quatre exercices types, avec le raisonnement attendu. Cherchez d’abord de votre côté, puis comparez avec le raisonnement proposé.

Exercice 1 : un code

Un digicode comporte 4 touches à presser parmi 10 chiffres, les répétitions étant permises. Combien de codes existe-t-il, et combien ont 4 chiffres tous différents ?

L’ordre compte et la répétition est permise : 10⁴ = 10 000 codes. Pour des chiffres tous différents, la répétition est interdite : A(10, 4) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040.

Exercice 2 : un tirage de cartes

On tire simultanément 5 cartes dans un jeu de 32 cartes. Combien de mains existe-t-il ?

« Simultanément » signifie qu’aucun ordre n’intervient : C(32, 5) = (32 × 31 × 30 × 29 × 28) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 24 165 120 / 120 = 201 376 mains.

Exercice 3 : deux comités

Dans un groupe de 10 élèves, on forme (a) un comité de 3 personnes sans rôle précis, puis (b) un bureau avec un président, un secrétaire et un trésorier, tous différents.

(a) L’ordre ne compte pas : C(10, 3) = (10 × 9 × 8) / 6 = 120. (b) Les rôles distinguent les personnes, donc l’ordre compte : A(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720. On retrouve bien 720 = 120 × 3!, car chaque comité de 3 personnes peut se répartir les 3 rôles de 3! = 6 façons.

Exercice 4 : « au moins un »

Dans un groupe de 6 filles et 5 garçons, on forme un comité de 4 personnes. Combien de comités comportent au moins une fille ?

Le groupe compte 11 personnes. Le nombre total de comités est C(11, 4) = (11 × 10 × 9 × 8) / 24 = 7 920 / 24 = 330. Le contraire de « au moins une fille » est « aucune fille », c’est-à-dire 4 garçons parmi 5 : C(5, 4) = 5. Il y a donc 330 − 5 = 325 comités avec au moins une fille. Passer par le contraire évite de traiter quatre cas séparés (1, 2, 3 ou 4 filles).

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

Une méthode stable évite la plupart des erreurs. Suivez ces étapes dans l’ordre.

1. Identifiez les objets que l’on compte : des listes, des groupes, des couples, des parties.
2. Posez les deux questions : l’ordre compte-t-il ? la répétition est-elle permise ?
3. Décomposez en étapes si la situation est composée : « et » conduit à multiplier, « ou » (cas disjoints) conduit à additionner.
4. Écrivez la formule choisie avec les valeurs de n et de k avant de calculer, en nommant la formule utilisée.
5. Simplifiez les factorielles à la main (par exemple 10! / 7! = 10 × 9 × 8) plutôt que d’évaluer des nombres énormes.
6. Contrôlez l’ordre de grandeur : un nombre de combinaisons ne dépasse jamais le nombre d’arrangements correspondant, qui lui-même ne dépasse jamais n^k.

Pensez au passage par le contraire pour les formulations « au moins un ». Une réponse sans justification du type de comptage ne rapporte qu’une partie des points, même si le résultat est exact. Pour vérifier votre travail, refaites l’exercice par une seconde voie et comparez les résultats.

Hugo Arbonnier