Loi binomiale et schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues : le succès et l’échec. On note p la probabilité du succès, avec 0 ≤ p ≤ 1. Celle de l’échec vaut alors 1 - p.

Exemple : on lance un dé équilibré et on regarde si un 6 apparaît. Le succès est « obtenir 6 », donc p = 1/6, et l’échec « ne pas obtenir 6 » a pour probabilité 5/6. Le mot « succès » ne dit rien de souhaitable : c’est simplement l’issue que l’on décide de compter.

La loi de Bernoulli

On associe à l’épreuve une variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec. On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. Sa loi est très courte : P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 - p.

Son espérance se calcule directement : E(X) = 1 × p + 0 × (1 - p) = p. Pour la variance, on utilise V(X) = E(X²) - (E(X))². Comme X² prend les mêmes valeurs que X (0 ou 1), E(X²) = p, d’où V(X) = p - p² = p(1 - p). Ces deux résultats sont à connaître tels quels : ils servent ensuite à comprendre ceux de la loi binomiale.

Schéma de Bernoulli : reconnaître la situation

Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli qui sont identiques (même probabilité de succès p à chaque fois) et indépendantes (le résultat d’une épreuve n’influence pas les autres). Ces deux conditions sont le cœur du chapitre : sans elles, la loi binomiale ne s’applique pas.

Pour reconnaître un schéma de Bernoulli, on vérifie quatre points :

• chaque épreuve n’a que deux issues, succès ou échec ;
• la probabilité de succès p est la même à chaque répétition ;
• les répétitions sont indépendantes ;
• le nombre de répétitions n est fixé à l’avance.

Lancer dix fois une pièce équilibrée et compter les « face » en est un. Tirer des cartes sans remise dans un petit paquet n’en est pas un : la composition du paquet change à chaque tirage, donc la probabilité de succès aussi, et les tirages dépendent les uns des autres. Dans ce cas, un arbre pondéré et la fiche sur les probabilités conditionnelles et leurs arbres pondérés donnent le bon outil.

Un tirage avec remise, lui, redonne à chaque fois la même situation de départ : il convient. À l’écrit, la phrase de justification est attendue : « On répète n fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p. » Sans elle, le résultat qui suit perd de sa valeur.

Loi binomiale B(n, p) et formule de P(X = k)

On répète n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p, dans un schéma de Bernoulli. La variable X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p). Elle prend les valeurs entières de 0 à n.

La formule de la loi binomiale

Pour tout entier k compris entre 0 et n :

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 - p)^n-k

Le coefficient binomial C(n, k), lu « k parmi n », est le nombre de chemins de l’arbre à n niveaux qui contiennent exactement k succès. Chacun de ces chemins a pour probabilité p^k(1 - p)^n-k, puisque les épreuves sont indépendantes. D’où le produit. Chaque facteur a son rôle : le coefficient compte les façons de placer les succès, p^k traite les succès, (1 - p)^n-k traite les échecs.

Pour mémoire, C(n, 0) = C(n, n) = 1 et C(n, 1) = n.

Un exemple avec n = 4 et p = 0,5

On lance quatre fois une pièce équilibrée et X est le nombre de « pile ». X suit B(4 ; 0,5). Comme p = 1 - p = 0,5, chaque chemin a pour probabilité 0,5⁴ = 1/16 = 0,0625.

La somme vaut 0,0625 + 0,25 + 0,375 + 0,25 + 0,0625 = 1. Ce contrôle est utile : si votre tableau ne totalise pas 1, une valeur est fausse. On remarque aussi la symétrie de la loi, qui vient de p = 0,5.

Espérance, variance et écart-type de B(n, p)

Si X suit la loi binomiale B(n, p), alors :

• E(X) = np ;
• V(X) = np(1 - p) ;
• σ(X) = √(np(1 - p)), l’écart-type, racine carrée de la variance.

Ces formules s’expliquent simplement : X est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes, chacune d’espérance p et de variance p(1 - p). Les espérances s’ajoutent toujours. Les variances s’ajoutent ici grâce à l’indépendance, d’où np et np(1 - p).

Pour B(4 ; 0,5) : E(X) = 4 × 0,5 = 2, V(X) = 4 × 0,5 × 0,5 = 1 et σ(X) = 1. On retrouve bien le centre du tableau précédent, où la valeur k = 2 est la plus probable.

Comment interpréter ces nombres

L’espérance est la valeur moyenne du nombre de succès si l’on répète la série d’épreuves un très grand nombre de fois. Elle n’est pas forcément une valeur que X peut prendre : pour B(5 ; 0,3), E(X) = 1,5, alors qu’on ne peut pas obtenir 1,5 succès. L’écart-type mesure la dispersion autour de cette moyenne : plus il est grand, plus les résultats s’étalent.

Exemple traité pas à pas

Énoncé : dans un jeu, chaque partie est gagnée avec la probabilité 0,3, indépendamment des autres. Un joueur fait 5 parties. On note X le nombre de parties gagnées. On cherche P(X = 2), P(X ≤ 1), P(X ≥ 1), puis l’espérance, la variance et l’écart-type.

1. Justifier le modèle. On répète 5 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès 0,3. X suit donc B(5 ; 0,3).
2. Calculer P(X = 2). P(X = 2) = C(5, 2) × 0,3² × 0,7³ = 10 × 0,09 × 0,343 = 0,3087.
3. Calculer P(X ≤ 1). On additionne : P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1). Or P(X = 0) = 0,7⁵ = 0,16807 et P(X = 1) = 5 × 0,3 × 0,7⁴ = 5 × 0,3 × 0,2401 = 0,36015. Donc P(X ≤ 1) = 0,52822.
4. Calculer P(X ≥ 1). L’événement contraire de « au moins une victoire » est « aucune victoire », donc P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,7⁵ = 1 - 0,16807 = 0,83193.
5. Espérance, variance, écart-type. E(X) = 5 × 0,3 = 1,5. V(X) = 5 × 0,3 × 0,7 = 1,05. σ(X) = √1,05 ≈ 1,02 à 0,01 près.

La formule générale pour « au moins un succès »

Le calcul de l’étape 4 se généralise : pour X qui suit B(n, p), P(X ≥ 1) = 1 - (1 - p)ⁿ. On l’utilise aussi pour chercher le plus petit n tel que cette probabilité dépasse un seuil donné. Il faut alors résoudre une inéquation avec une puissance, par tâtonnement à la calculatrice ou avec le logarithme si le programme de votre spécialité le prévoit.

Utiliser la calculatrice

La calculatrice évite les longs calculs, à condition de savoir quoi lui demander. Dans le menu des lois de probabilité, on trouve la rubrique binomiale avec deux fonctions :

• la fonction de densité (ou « fdp ») donne P(X = k) : on saisit n, p et k ;
• la fonction de répartition (ou « fdr ») donne P(X ≤ k) : on saisit n, p et k.

Pour P(X ≥ k), on passe par le contraire : P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k - 1). Pour P(X = 2) avec B(5 ; 0,3), vous devez retrouver 0,3087. Les noms des fonctions changent d’une calculatrice à l’autre, mais le principe reste le même. Sur la copie, indiquez toujours la formule ou la commande utilisée, pas seulement le résultat.

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

Devant un exercice qui parle de répétitions, de succès et de « combien », suivez le même enchaînement :

1. Identifier l’épreuve de Bernoulli, définir le succès et donner p.
2. Vérifier que les répétitions sont identiques et indépendantes (tirage avec remise, expériences séparées), puis donner n.
3. Écrire la phrase de conclusion de modélisation : « X suit la loi binomiale B(n, p). »
4. Traduire la question en événement : « exactement k » donne P(X = k), « au plus k » donne P(X ≤ k), « au moins un » donne 1 - P(X = 0).
5. Poser la formule avant de calculer, avec le coefficient binomial, p^k et (1 - p)^n-k.
6. Calculer, puis contrôler : une probabilité reste entre 0 et 1, et la somme de toute la loi vaut 1.
7. Conclure par une phrase dans le contexte, avec la valeur exacte ou un arrondi dont on précise la précision.

Pour progresser, refaites seul l’exemple traité plus haut sans regarder les étapes, puis changez n ou p et vérifiez vos résultats avec la calculatrice. L’objectif n’est pas de recopier un calcul, mais de savoir justifier chaque ligne.

Hugo Arbonnier