Les nombres complexes en terminale

Nombre complexe : de quoi parle-t-on ?

Un nombre complexe est un nombre de la forme a + bi, où a et b sont deux réels et où i est un nombre particulier défini par i² = -1. Aucun réel n’a un carré négatif : on invente donc i pour que l’équation x² = -1 ait des solutions.

Ce cours sur les nombres complexes s’adresse aux élèves de terminale qui l’ont au programme de leur enseignement de mathématiques. Il relie l’algèbre, la trigonométrie et la géométrie.

Trois idées structurent tout le chapitre :

• un complexe s’écrit sous plusieurs formes, et chacune sert à un type de calcul ;
• à chaque complexe correspond un point du plan, et inversement ;
• le module mesure une distance, l’argument mesure un angle.

Relisez cette liste avant chaque exercice : elle indique quelle forme choisir.

Forme algébrique, conjugué et équations du second degré

Partie réelle et partie imaginaire

Tout complexe z s’écrit de façon unique z = a + bi. Le réel a est la partie réelle, notée Re(z). Le réel b est la partie imaginaire, notée Im(z). Attention : Im(z) est un réel, sans le i. Pour z = 3 - 4i, on a Re(z) = 3 et Im(z) = -4.

Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires aussi. Cette propriété transforme une équation complexe en deux équations réelles.

Opérations

L’addition et la multiplication se font comme avec des lettres, en remplaçant i² par -1 :

• (2 + 3i) + (1 - i) = 3 + 2i ;
• (2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i.

Conjugué et quotient

Le conjugué de z = a + bi est z̄ = a - bi. On a z + z̄ = 2a, qui est réel, et z z̄ = a² + b², qui est un réel positif. Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués.

Pour un quotient, on multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur :

(1 + 2i)/(3 - i) = (1 + 2i)(3 + i)/((3 - i)(3 + i)) = (3 + i + 6i + 2i²)/(9 + 1) = (1 + 7i)/10, soit 1/10 + (7/10)i.

Équation du second degré à discriminant négatif

Soit az² + bz + c = 0 avec a, b, c réels et a non nul. On calcule Δ = b² - 4ac. Si Δ < 0, l’équation a deux solutions complexes conjuguées :

z₁ = (-b - i√(-Δ))/(2a) et z₂ = (-b + i√(-Δ))/(2a).

Prenons z² + 2z + 5 = 0. Ici Δ = 4 - 20 = -16, donc √(-Δ) = 4. Les solutions sont (-2 - 4i)/2 = -1 - 2i et (-2 + 4i)/2 = -1 + 2i. Vérification : (-1 + 2i)² = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i, puis -3 - 4i + 2(-1 + 2i) + 5 = 0. La méthode complète du second degré détaille les cas où Δ est positif ou nul, pour lesquels les solutions sont réelles.

Module, argument et interprétation géométrique

Affixe et image

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; u, v). Au complexe z = a + bi on associe le point M(a ; b) : z est l’affixe de M, et M est l’image de z. Le vecteur OM a aussi pour affixe z. Plus généralement, le vecteur AB a pour affixe z_B - z_A. Cette lecture repose sur les coordonnées de vecteurs : la fiche sur les vecteurs et leurs coordonnées aide à la revoir.

Module

Le module de z = a + bi est |z| = √(a² + b²). C’est la distance OM. On a aussi |z|² = z z̄. Deux exemples :

• |1 + i| = √(1 + 1) = √2 ;
• |3 - 4i| = √(9 + 16) = 5.

Le module d’un produit est le produit des modules, celui d’un quotient est le quotient des modules, et |z̄| = |z|. En revanche, |z + z'| n’est pas égal à |z| + |z'| en général. La distance entre deux points A et B vaut AB = |z_B - z_A|.

Argument

Pour z non nul, un argument de z est une mesure θ de l’angle (u ; OM). Il est défini à 2π près, ce qu’on note arg(z) = θ [2π]. Le nombre 0 n’a pas d’argument. Pour z = 1 + i, on a |z| = √2, donc cos θ = 1/√2 et sin θ = 1/√2 : arg(1 + i) = π/4 [2π].

Quelques repères : un réel positif a pour argument 0, un réel négatif π, un imaginaire pur de partie imaginaire positive π/2. Les règles à connaître sont arg(zz') = arg(z) + arg(z'), arg(z̄) = -arg(z) et arg(z/z') = arg(z) - arg(z'). Pour trois points A, B, C distincts, l’angle (AB ; AC) a pour mesure un argument de (z_C - z_A)/(z_B - z_A).

Formes trigonométrique et exponentielle, formule de Moivre

Si r = |z| et θ = arg(z), alors a = r cos θ et b = r sin θ. On obtient la forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ). Pour la trouver, on calcule r, puis on résout cos θ = a/r et sin θ = b/r ensemble. Utiliser seulement la tangente fait perdre le quadrant.

On note e^iθ = cos θ + i sin θ. La forme exponentielle est alors z = r e^iθ. Ainsi 1 + i = √2 e^iπ/4. On retient aussi e^iπ = -1 et e^iπ/2 = i.

Cette notation se comporte comme une puissance : e^iθ e^iθ' = e^{i(θ + θ')}, 1/e^iθ = e^-iθ, et le conjugué de e^iθ est e^-iθ. Pour un produit, les modules se multiplient et les arguments s’additionnent.

La formule de Moivre s’écrit, pour tout entier n : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ), ou encore (e^iθ)ⁿ = e^inθ. Elle sert à calculer des puissances. Par exemple (1 + i)⁸ = (√2)⁸ e^i·8π/4 = 16 e^2iπ = 16. Contrôle : (1 + i)² = 2i, puis (2i)⁴ = 16.

Exemple traité pas à pas

Soit z = -1 + i√3. On cherche le module, l’argument, la forme exponentielle, puis z⁶.

1. Module. |z| = √((-1)² + (√3)²) = √(1 + 3) = 2.
2. Argument. On résout cos θ = -1/2 et sin θ = √3/2. Le point est dans le deuxième quadrant, donc θ = 2π/3 [2π]. Le calcul arctan(-√3) donnerait -π/3, qui est faux : la partie réelle est négative.
3. Forme exponentielle. z = 2e^i2π/3. Vérification : 2(cos 2π/3 + i sin 2π/3) = 2(-1/2 + i√3/2) = -1 + i√3.
4. Puissance. z⁶ = 2⁶ e^i·6·2π/3 = 64 e^4iπ = 64, car 4π est un multiple de 2π.
5. Contrôle par le conjugué. z z̄ = (-1)² + (√3)² = 4 = |z|². Le module trouvé à l’étape 1 est cohérent.

Refaites ce calcul sans regarder les étapes, puis comparez. Vous vérifiez ainsi par vous-même, sans recopier une solution.

Méthode à appliquer le jour de l’évaluation

1. Repérez la forme demandée et la forme la plus adaptée : algébrique pour additionner, exponentielle pour multiplier ou élever à une puissance.
2. Pour un quotient, multipliez par le conjugué du dénominateur avant tout développement.
3. Pour un argument, calculez le module, puis cos θ et sin θ, et placez le point dans son quadrant. Précisez toujours « modulo 2π ».
4. Pour une équation du second degré, calculez Δ. S’il est négatif, écrivez les deux solutions conjuguées et testez-en une.
5. Pour une question de géométrie, traduisez en affixes : une distance devient un module, un angle devient un argument.
6. Gardez deux minutes pour contrôler : module positif, i² bien remplacé, cohérence entre forme algébrique et forme exponentielle.

Hugo Arbonnier